Метод наибольшего правдоподобия в случае неточных

ISBN 978-5-7417-0435-6.
Математическое моделирование информационных систем. М., 2012
УДК 517.9
С. Н. Агаханов, И. Е. Квасов
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
E-mail: [email protected]
ПОСТРОЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ МОДЕЛИ КОРИДОРА
ТРЕЩИН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТОК
Целью данной работы является исследование волновых процессов в однородных средах с использованием нерегулярных треугольных сеток. Исследованы проблемы применения расчетного метода на неструктурированных
сетках, а также выполнена программная реализация расчетного метода с их
использованием.
Математическая модель
Состояние бесконечно малого объема сплошной линейноупругой среды подчиняется следующим уравнениям [1]:
Во-первых, это локальное уравнение движения:
υ    TT ,
где  – плотность материала, υ – скорость движения среды в
данной точке,  – градиент по пространственным координатам, T – тензор напряжений Коши.
Из-за линейной упругости материала напряжения с деформациями связаны следующим образом:
1
ISBN 978-5-7417-0435-6.
Математическое моделирование информационных систем. М., 2012
T  (e : I)  2e ,
где ,   параметры Ляме, определяющие свойства упругого
материала, e  12 (  u  u  )  симметричный тензор малых
деформаций, u – поле перемещений.
Каноническая запись дифференциальных уравнений
Для анализа системы уравнений и построения разностных
схем требуется привести ее запись к канонической форме:
u
u  A j
 0,

j
j
где в вектор u собираются все переменные системы. В нашем
случае это
u  υ, T  1, 2 , 3 , 11, 12 , 13 , 22 , 23 , 33 .
T
T
В запись разностных схем входит как сама матрица A j , так и
различные функции от нее.
Численный метод
Для численного решения задачи используется сеточнохарактеристический метод [2–3], который позволяет строить
корректные численные алгоритмы для расчета граничных точек и точек, лежащих на поверхностях раздела сред.
При замене переменных система уравнений распадается на
ряд независимых скалярных уравнений переноса:
υ
υΛ
 0  υ  Ωu  .

Уравнения переноса решаются весьма просто. Из того узла
m временного слоя n  1 , в котором требуется получить решение, опускаются характеристики. Из точки пересечения ха-
2
ISBN 978-5-7417-0435-6.
Математическое моделирование информационных систем. М., 2012
рактеристики со слоем n соответствующая компонента вектора υ переносится в точку nm1 :
in 1  m   in  m   i   .
Если характеристика не попадает точно в расчетный узел,
то применяется метод интерполяции.
Результаты
Целью данной работы является поиск и изучение поведения оптимальных параметров, моделирующих коридор трещин. Для этого вместо коридора задается однородный прямоугольник тех же размеров с отличными от окружающей среды
упругими параметрами (рис. 1).
Было проведено несколько серий расчетов для разной
плотности заполнения коридора трещинами, для каждого расчета найдены оптимальные параметры моделирующего прямоугольника (рис. 2). Из приведенных графиков видно, что
при увеличении плотности заполнения коридора трещинами,
эффективная продольная скорость звука не изменяется, а
сдвиговая — монотонно убывает.
Рис. 1. Постановка задачи
3
ISBN 978-5-7417-0435-6.
Математическое моделирование информационных систем. М., 2012
Рис. 2. Зависимость параметров от количества трещин
Литература
1.
2.
3.
Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированной среды. – М.: МФТИ, 2002.
Квасов И.Е., Панкратов С.А., Петров И.Б. Численное моделирование
сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточнохарактеристическим методом // Математическое моделирование. –
2010. – Т. 22, № 9, – С. 13–22.
Квасов И.Е., Панкратов С.А., Петров И.Б. Численное исследование
динамических процессов в сплошной среде с трещиной, инициируемых
приповерхностным возмущением, сеточно-характеристическим методом // Математическое моделирование. – 2010. – Т. 22, № 11, – С. 109–
122.
Получено 30.03.2012
4