Лекция 13: Расчет сооружений дискретным методом

Лекция 13
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ
ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ
(продолжение)
4. Геометрическое уравнение
Внешняя нагрузка приводит к деформации элементов сооружения.
Но при этом они не должны отрываться друг от друга. Это требование
можно записать в виде уравнений совместности деформаций,
отражающих геометрическую сторону задачи.
Изучим это на примере предыдущей фермы (рис.а):
При перемещениях u1 и u2 узла A фермы (рис. б) ее элементы e1 и e2
получают следующие деформации (рис. в):
Δ1  u1 cosα  u2 sinα ,
Δ2  u1 cosα  u2 sinα
(здесь, из-за сжатия e2 от перемещения u1 первое слагаемое взято со
знаком «–»).
Перепишем эти уравнения в виде:
cosα  u1  sinα  u2  Δ1  0 ,
cosα  u1  sinα  u2  Δ2  0
и представим в матричной форме
 cosα  sinα 
 cosα  sinα 


или как
A1u  Δ = 0 ,
 u1 
u 
u 2 
 u1   Δ1  0 
u    Δ   0 
 2  2  
где
− вектор
перемещений,
 1 − вектор
Δ 
деформаций,
 2 
 cosα  sinα  − связующая
A1  
 матрица.
cosα

sinα


Из предыдущей лекции нам известна матрица
 cosα cosα 
A
.

  sinα  sinα 
Видим, что A1  A , где символ t означает транспонирование.
Поэтому вместо построения матрицы A1 можно воспользоваться
матрицей At.
t
Тогда получим уравнение
A t u  Δ  0 − геометрическое уравнение
Возможность использования одной и той же матрицы A в двух
уравнениях − уравнении статики и геометрическом уравнении носит
название принципа двойственности.
5. Физическое уравнение
Изучим связь между деформациями и внутренними усилиями
элементов расчетной модели стержневой системы.
При выбранной расчетной модели (механические и геометрические
характеристики отдельных элементов постоянны, внешняя нагрузка
действует только в узлах) по отдельным конечным значениям усилий в
элементе можно определять усилия во всех его точках элемента.
Рассмотрим три типовых элемента.
1) элемент с двумя
жесткими узлами
В каждой его точке
продольная
сила
N
постоянна, а изгибающий
момент M и поперечная
сила
Q
зависят
от
начального момента Mн и
конечного момента Mк :
Mк  Mн
Q
.
l
Mн Q
Mк
er
N
N
Q
+
N
M
Mн
Mк
+
Q
2) элемент с шарнирным и жестким узлами
В нем продольная сила
N постоянна, изгибающий
момент M и поперечная
сила
Q
зависят
от
конечного момента:
Mк
Q
.
l
3) элемент с двумя шарнирными узлами
В нем имеется только
постоянная
продольная
сила N.
Зависимость между внутренними усилиями и деформациями всех
трех элементов может быть установлена через обобщенный закон
Гука и записана в матричной форме:
Δ r  B rS r ,
где Br – матрица податливости элемента с номером r, связывающая
вектор перемещений элемента Δr с вектором усилий Sr.
Например, в элементе 1-го типа связь между отдельными
компонентами векторов перемещений Δr  { l  н  к } и внутренних
усилий S r  {N M н M к } выражается формулами:
l
l
N,
EF
l
l
Mн 
Mк ,
3EI
6 EI
l
l
к 
Mн 
Mк .
6 EI
3EI
н 
Если эти уравнения записать в матричной форме, то матрица
податливости элемента 1-го типа будет:
 l
 EF

Br   0


 0

0
l
3EI
l
6 EI

0 

l 
.

6 EI
l 
3EI 
Для элемента 2-го типа:
S r  {N M к },
Δ r  {  l  к},
Для элемента 3-го типа:
S r  { N },
Δr  { l },
 l
 EF
r
B 
 0


0 
.
l 
3EI 
 l 
Br  
.

 EF 
Пусть дискретная модель состоит из m элементов e1, …, em.
Для всех элементов запишем уравнения (1), связывающие вектора
деформаций элементов Δ1, … , Δm с векторами усилий S1, … , Sm.
Затем объединим эти уравнения в общую систему уравнений, а
вектора деформаций и усилий элементов объединим в вектора

S  S1 S2
Sr

Sm ,

Δ  Δ1 Δ2
Δr

Δm .
Полученную систему уравнений можно записать в виде одного
матричного уравнения
Δ = BS.
Оно устанавливает связь между разными физическими величинами
расчетной модели и называется физическим уравнением.
Здесь матрица
B1

B2

B

 0
0 


1 2

B
B


B m 
Bm .
называется матрицей податливости системы. Здесь знак  
означает диагональность этой матрицы.
6. Решение полной системы уравнений
При расчете напряженно-деформированного состояния плоской
стержневой системы дискретным методом участвуют четыре вектора:
P   P1 P2  Pn  – вектор нагрузки
u  u1 u 2  u n  – вектор перемещений


S  S 1 S 2  S m – вектор усилий
Δ   1  2   m  – вектор деформаций
Между этими векторами имеется три зависимости:
(1) AS  P  0 – уравнение равновесия
t
(2) A u  Δ  0 – геометрическое уравнение
– физическое уравнение
(3) Δ  BS
Они вместе называются
полной
системой уравнений
строительной механики.
Решение этой системы уравнений дает полную картину напряженнодеформированного состояния всего сооружения.
Полную систему уравнений (1)-(3) с тремя неизвестными S, u, Δ
можно решать тремя способами.
а) Решение в смешанной форме
Для этого правую часть уравнения (3) нужно подставить вместо в
уравнение (2). Тогда останутся два уравнения:
(4) AS   P ,
t
(5) A u  BS  0 .
Объединим их в одно матричное уравнение:
 A 0  S    P 


.

t  u   0 
B A     
Из его решения одновременно определяются искомые внутренние
усилия и деформации сооружения:
1
A 0  P 
S 
.
u    
t  0
 
B A   
Но из-за большой размерности обращаемой матрицы и ее
несимметричности, расчет этим способом сложен для реализации.
б) Решение в перемещениях
Для этого из (5) найдем усилия:
1
(6) S   B A u   KA u .
t
t
Обратная к B матрица K  B 1 называется матрицей жесткости.
Теперь подставим (6) в (4) и получим:
AKA t u  P .
Отсюда определяется вектор перемещений:
u  (AKA t )1 P .
Если этот результат подставить в (6), то определяются и усилия.
в) Решение в усилиях
Из-за сложности решения его рассматривать не будем.
7. Алгоритм дискретного метода
1. Ввести в расчетную схему узлы и выбрать расчетную модель.
2. Составить вектор узловых перемещений u.
3. Составить вектора неизвестных усилий S и деформаций Δ.
4. Перенести внешнюю нагрузку в узлы.
5. Вырезая узлы, записать уравнения равновесия.
6. Собрать матрицу равновесия A и вектор нагрузки P.
7. Составить матрицу податливости необъединенных элементов B.
8. Решить полную систему уравнений строительной механики.
Решение в перемещениях ведется в следующем порядке:
а) K  B 1 ;
t
б) C  KA ;
в) K 0  AKA t  AC ;
г) B 0  K 01 ;
д) u  B 0 P ;
е) S   Cu ;
ж) Δ  BS .
9. По вектору усилий S построить эпюры M, Q, N .
При необходимости, по векторам u и Δ можно построить общую
картину деформации сооружения.