Производная функции

Производная функции
Геометрический смысл
производной
1
Секущая к графику
На графике функции Y = f (x)
рассмотрим приращение /\X
и
/\Y. Прямую l , проходящую
через любые две точки
функции f, называют
секущей к графику f.
Угловой коэффициент k
секущей, проходящей через
точки (Xo; Yo) и (X; Y), равен
Y – Yo
X – Xo .
Его удобно выразить через
приращение /\X и /\Y:
/\Y
k = tg a= /\X.
2
Производная функции
Рассмотрим способ нахождения углового коэффициента касательной к
графику функции:

1) С помощью формулы, задающей функцию f, находим её приращение
в точке Хо:
/\f
= f (Xo + /\X) – f (Xo)

2)Находим выражение для разностного отношения /\f :
/\X
/\f = f (Xo + /\X) – f (Xo)
/\X
/\X
Которое затем преобразуем – упрощаем сокращаем на /\X и т. п.

3) Выясняем, к какому числу стремится /\f , если считать, что /\X
/\X
стремится к нулю.
Найденное таким образом число является производной функции f в точке
Xо.

3
Определение производной
 Производной функции f в точке Xo
называется число, к которому стремится
разностное отношение
/\f = f (Xo + /\X) – f (Xo)
/\X
/\X
при /\X, стремящемся к нулю.
4
Касательная к графику функции
Касательная к графику
дифференцируемой в точке Хо
функции f – это прямая,
проходящая через точку
(Xo; f (Xo)) и имеющая угловой
коэффициент
f ’ (Xo).
Тогда введём уравнение
касательной к графику
функции:
Y = f (Xo) + f ’ (Xo) (X – Xo).



 Значит геометрический
смысл производной – угловой
коэффициент касательной к
графику функции.
(На рисунке y = 0 касательная к
графику
2
функции Y = X
в точке Xo = 0)

5