Производная функции
advertisement
Производная функции Геометрический смысл производной 1 Секущая к графику На графике функции Y = f (x) рассмотрим приращение /\X и /\Y. Прямую l , проходящую через любые две точки функции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (Xo; Yo) и (X; Y), равен Y – Yo X – Xo . Его удобно выразить через приращение /\X и /\Y: /\Y k = tg a= /\X. 2 Производная функции Рассмотрим способ нахождения углового коэффициента касательной к графику функции: 1) С помощью формулы, задающей функцию f, находим её приращение в точке Хо: /\f = f (Xo + /\X) – f (Xo) 2)Находим выражение для разностного отношения /\f : /\X /\f = f (Xo + /\X) – f (Xo) /\X /\X Которое затем преобразуем – упрощаем сокращаем на /\X и т. п. 3) Выясняем, к какому числу стремится /\f , если считать, что /\X /\X стремится к нулю. Найденное таким образом число является производной функции f в точке Xо. 3 Определение производной Производной функции f в точке Xo называется число, к которому стремится разностное отношение /\f = f (Xo + /\X) – f (Xo) /\X /\X при /\X, стремящемся к нулю. 4 Касательная к графику функции Касательная к графику дифференцируемой в точке Хо функции f – это прямая, проходящая через точку (Xo; f (Xo)) и имеющая угловой коэффициент f ’ (Xo). Тогда введём уравнение касательной к графику функции: Y = f (Xo) + f ’ (Xo) (X – Xo). Значит геометрический смысл производной – угловой коэффициент касательной к графику функции. (На рисунке y = 0 касательная к графику 2 функции Y = X в точке Xo = 0) 5
