Геометрический смысл производной в задачах части В. ЕГЭ по математике. k tg У У y k xb k 0 y k xb k 0 α α 0 0 Х Х У k1 k2 k3 α α α Х Геометрический смысл производной У y f (x) k – угловой коэффициент прямой (касательной) y k xb α 0 x0 Х Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. f ( x0 ) k tg Уравнение касательной к графику функции У y f (x) α 0 x0 Х у f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 4 На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало отсчета касается графика этой функции в точке с абциссой 8. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ = 8. f ( x0 ) k 10 α 8 8 k tg 10 tg 1,25 8 Функция возрастает, следовательно f (8) 1,25 k 0 6 α 8 7 f (8) 0,75 6 Для вычисления углового коэффициента касательной, где k = tgα, достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток и, считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение катетов у х у х у х 7 На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. 8 2 f ( х0 ) 0,25 8 На рисунке изображён график производной функции y = f (x), определённой на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой у = -2х – 11 или совпадает с ней. f ( x) k f ( x) 2 Ответ: 5 9 На рисунке изображён график производной функции y = f (x), определённой на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой у = 3х +9 или совпадает с ней. Ответ: 2 10 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-10; 3). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю. Ответ: 9 11 На рисунке изображён график производной функции y = f (x), определённой на интервале (-12;5). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю. Ответ: 3 12 Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2+6x-8 . Найдите абсциссу точки касания. Решение: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. k=7, k=f’(х) f’(х)=7 f’(х)=2x+6 2x+6=7 x=0,5 Ответ: 0,5 13 Прямая y= -4x-11 является касательной к графику функции y=x3+7x2+7x-6. Найдите абсциссу точки касания. Решение: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. k= -4, k=f’(х) f’(х)=3x2+14x+7 3x2+14x+7= -4 3x2+14x+11=0 x= -1, x= -11/3 y(-1)= -7, y(-1)=-7 Ответ: -1 14