Лекция 2. Арифметические основы цифровой техники: 1)Системы счисления 2)Двоичная арифметика 3) Перевод из одной системы счисления в другую Системы счисления Под системой счисления понимают способ записи чисел с помощью ограниченного набора символов (цифр, букв). Различают два вида систем счисления: позиционные и непозиционные. К позиционным относятся системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее места в числе. Целое m-разрядное число N(q) в системе счисления с основанием q можно представить в виде полинома по степеням основания (здесь и в дальнейшем индекс "( q)" будет указывать основание СС, в которой представлено число): N(q) = m-1qm-1 + m-2qm-2 + … + iqi + … +1q1 + 0 q0, (1) где i (i = 1, 2, …, m) – цифры, используемые в системе счисления. Запись числа N(q) по форме (1) называют развернутой. Число N(q) можно представить и в несколько ином виде, позволяющем ввести понятие вес разряда N(q) = m-1 pm-1 + m-2 pm-2 + … + i pi + … +1p1 + 0 p0, (2) где pi = qi (i = 0, 1, …, m- 1) – целочисленные значения весов разрядов; i – значение цифр разрядов, определяющих сколько раз надо повторить веса этих же разрядов, чтобы определить долю данного разряда в значении числа. Десятичная система счисления. Эта система счисления является наиболее известной и распространенной. В ней для записи чисел используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Количество цифр, используемых в любой позиционной системе счисления при записи чисел, называют основанием системы счисления. Двоичная система счисления. Свое название эта система счисления получила потому, что в ней для записи любых чисел используются всего две цифры: 0 и 1. Основание системы счисления число два записывается как и в десятичной системе счисления с помощью двух цифр, т. е. q(2) = 10. В двоичной системе счисления также используется понятие веса разряда. Веса разрядов в двоичной системе счисления показаны на рис. 2. Шестнадцатеричная система счисления. В этой системе счисления для записи чисел используются 16 цифр. Десять младших из них (0, 1,…,9) взяты из десятичной системы счисления. В качестве шести других используются буквы латинского алфавита: A – 10, B – 11, C – 12, D – 13, E – 14 и F – 15. Основание системы счисления число шестнадцать также записывается с помощью двух чисел и по форме совпадает с записью оснований десятичной и двоичной систем счисления, т. е. q(16) = 10. Веса разрядов в шестнадцатеричной системе счисления показаны на рис. 3. Двоичная арифметика Арифметические действия над двоичными числами выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, но более просты. При выполнении операций сложение, вычитание и умножение нужно руководствоваться следующими таблицами: Примечание. При выполнении операции вычитания следует помнить, что "1", занятая в отдаленном старшем разряде, оставляет по "1" в каждом промежуточном разряде и две единице в младшем разряде, например Перевод из одной системы счисления в другую Веса разрядов в любой триаде, например, соответственно равны 4, 2, 1, что позволяет любую триаду заменить одной восьмеричной цифрой. Поэтому для перевода двоичных чисел в восьмеричные их разбивают на триады влево и вправо от запятой. Если крайние триады оказались неполными, то они дополняются нулями. Литература 1) Основы вычислительной техники: Учебное пособие/ Д.П. Гонтов, К.Г. Кречетников и др: Владивосток: ТОВВМУ, 1996. 2) Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы: Учебное пособие для вузов. – М.: Энергоатомиздат, 1991. 3) Калиш Г.Г. Основы вычислительной техники. Учеб. пособ. для средн. проф. учебных заведений. – М.: Высш. Шк., 2000. 4) Евреинов Э. В. Цифровая и вычислительная техника. – М.: Энергоатомиздат, 1991. 5) Цифровые устройства и микропроцессоры. Сборник заданий для лабораторных работ/ А. А. Гайзюмов, Д. П. Гонтов, А. Н. Карелин и др.: Владивосток: ТОВМИ, 1999.