Квадратичная функция, решение квадратных уравнений

Квадратичная функция,
решение квадратных
уравнений и неравенств
Обучающая интерактивная
презентация
8-9 класс
1. Квадратичная функция
Квадратичной функцией называется функция вида
f ( x)  ax 2  bx  c, где a  0, a, b, c  R
Область определения: D( y) : x  R
График квадратичной функции: парабола
y
y
y=f(x)
y=f(x)
Если a>0:
Если a<0:
0
x
0
x
2. Квадратичная функция, ее график
Точка ( x0 ;y0 ) – вершина параболы
y
Вычисление координат вершины параболы:
y=f(x)
x0  
x1
x0
x2
x
0
y0
b
2a
y0  ax02  bx0  c
x1 ; x2 – точки пересечения
параболы с осью Ox
(в
зависимости от расположения
параболы их может и не быть)
Область значений квадратичной функции:
 y  [ y0 ; ) , a  0
E ( y) : 
 y  ( ; y0 ], a  0
3. Количество точек пересечения графика
квадратичной функции с осью Ox
Рассмотрим квадратичную функцию с коэффициентом a>0
Возможны 3 различные ситуации расположения графика относительно оси Ox:
y
y
y
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
0
x
0
x
1. Одна точка пересечения
2. Точек пересечения нет
(парабола касается оси Ox)
(парабола располагается
выше оси Ох)
0
3. Две точки пересечения
(парабола пересекает ось Ох)
x
4. Решение квадратных уравнений
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2  bx  c  0 , (a  0)
(1)
Для его решения вычисляется дискриминант:
D  b2  4ac
В зависимости от значения дискриминанта возможны 3 ситуации:
1) D  0,
b D
b D
x1 
, x2 
2a
2a
два различных действительных корня
2) D  0,
b D
b D
, x2 
2a
2a
äâà ñîâïàäàþùè õ
äåéñòâèòåë üíûõ êîðíÿ
( êðàòíûå êîðíè )
x1 
3) D  0,
действительных корней нет
5. Теорема Виета
Квадратное уравнение называется приведенным, если
коэффициент при старшей степени a равен 1 :
x 2  px  q  0
(2)
Заметим, что уравнение (1) всегда можно привести к (2) делением
обеих частей уравнения (1) на коэффициент a.
Если квадратное уравнение (1) имеет решения x1 ;x2 , то:
 x1  x2  p

 x1  x2  q
6. Графическая интерпретация
решения квадратных неравенств
Задача 1. Решить квадратное неравенство
ax 2  bx  c  0
Ситуация 1.
(a  0)
(3)
y
D=0 (два совпадающих корня уравнения (1))
y=f(x)
Решением квадратного неравенства (3) является:
x   ; x0   ( x0 ;)
0
x0
x
Графическая интерпретация решения
квадратных неравенств
Ситуация 2.
D<0
(уравнение (1) не имеет действительных корней)
y
y=f(x)
Решением квадратного
неравенства (3) является:
x  (;)
0
x
Графическая интерпретация решения
квадратных неравенств
Ситуация 3.
D>0
(уравнение (1) имеет 2 различных
действительных корня)
y
y=f(x)
Решением квадратного
неравенства (3) является:
x  (; x1 )  ( x2 ;)
0
x1
x2
x
Графическая интерпретация решения
квадратных неравенств
Задача 2. Решить квадратное неравенство
ax 2  bx  c  0
Ситуация 1.
(a  0)
(4)
y
D=0 (два совпадающих корня уравнения (1))
y=f(x)
Решением квадратного неравенства (4) является:
x
0
x0
x
Графическая интерпретация решения
квадратных неравенств
Ситуация 2.
D<0
(уравнение (1) не имеет действительных корней)
y
y=f(x)
Решением квадратного
неравенства (4) является:
x
0
x
Графическая интерпретация решения
квадратных неравенств
Ситуация 3.
D>0
(уравнение (1) имеет 2 различных
действительных корня)
y
y=f(x)
Решением квадратного
неравенства (4) является:
x  ( x1; x2 )
0
x1
x2
x