Ерина Н.Е. презентация

ЭЛЕКТИВНОЕ ЗАНЯТИЕ ПО ТЕМЕ:
«ФУНКЦИОНАЛЬНО –
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»
Ерина Наталья Евгеньевна
Цель занятия:

научить решать уравнения и неравенства
функционально – графическим методом,
опираясь на теоретические знания
свойств функций.
Задачи:



изучить функционально-графический метод решения
уравнений и неравенств;
развивать и совершенствовать исследовательские
навыки и приемы при решении нестандартных задач,
умение анализировать, обобщать полученные
знания, развивать математическую речь.
воспитывать интерес к предмету, инициативность,
творческую активность, позитивную жизненную
позицию, самостоятельность в работе с различными
источниками информации.
Актуальность темы



предоставить учащимся альтернативный выбор
методов и способов решения;
повысить уровень процентного и качественного
выполнения заданий ЕГЭ;
усилить мотивацию обучения математики.
Структура урока:
организационный момент;
 актуализация опорных знаний;
 постановка проблемы;
 изучение нового материала;
 интеллектуальная разминка;
 закрепление материала;
 самоконтроль знаний;
 подведение итогов;
 домашнее задание.

Актуализация опорных знаний
1) Дать определение области определения
функции
2) Что понимается под областью допустимых
значений уравнения (неравенства)?
3) Какие два уравнения являются равносильными?
Равносильны ли уравнения
а) ( Х - 1) 2 = 0 и Х - 1 = 0;
б) x 2 + 7 = 0 и x = - 7.
4) Назовите причины расширения области
значений уравнения (неравенства).
Постановка проблемы

Проблема – это форма научного знания, в
которой определяются границы достоверного и прогнозируются пути развития
нового знания.
Использование свойств
монотонности функций

Если на промежутке Х функции y=f(x), y=g(x)
непрерывны и одна из них строго возрастает, а другая
строго убывает на этом промежутке, тогда на
промежутке Х графики функций у = f(x) и y=g(x)
могут иметь не более одной точки пересечения, а
уравнение f(x) = g(x) - не более одного корня (либо
не имеет корней).
Решить уравнение
2х  7  х 1  5  x  1
Решение
ОДЗ уравнения отрезок 1;5 .
Данное уравнение равносильно уравнению
2х  7  х 1  5  x  1
Так как функция f(x)  2 х  7  х  1 возрастает, а
функция g(x) = 5  х  1
убывает, то уравнение
имеет не более одного решения. Корень уравнения х=1
находим подбором.
Ответ: 1.
Использование области определения функции
для решения уравнений, неравенств
Определение: областью допустимых значений
(ОДЗ)
уравнения
(неравенства)
называется
множество таких значений переменной, для
которых определена каждая функция, входящая в
уравнение (неравенство).

Если ОДЗ уравнения (неравенства) состоит из одного или
нескольких чисел, то надо проверить, не является ли
каждое из этих чисел решением уравнения
(неравенства).
ЕГЭ (задание части В):
Сколько целочисленных решений имеет неравенство
х 2  3х  10
0
1 4  х2
Решение
2

4

x
0
ОДЗ неравенства: 
 2  x  2.

2

1

4

x
0

Целые числа: -2; -1; 0; 1; 2
Проверка показывает, что каждое из этих чисел
является решением неравенства
Ответ: 5 целочисленных решений.
Интеллектуальная разминка:





Какой великий немецкий математик был зачислен Петром 1
на русскую службу?
Имя итальянского художника, создателя картины «Мона
Лиза», совершившего открытие в математике?
Великий русский математик 17 – 18 веков, основатель
русской геометрии?
Закончить предложение: «По праву достойна в стихах быть
воспета, о свойствах корней…
Встречаясь,
мы
говорим:
«Давай
обменяемся
координатами», идея задания которых принадлежит
известному французскому математику, основоположнику
современной алгебры. Назовите его имя.
Использование свойства
ограниченности функции
Справедливо следующее утверждение: если область
допустимых значений уравнения f(x) = g (x ) есть
множество x и для любого х справедливы
неравенства f(x)≥ A и g(x)≤А , где А – некоторое
число, то уравнение f(x) = g(x) на множестве Х
равносильно системе уравнений
 f (x)  A

g(x)  A
Решить уравнение
Cosx  1  х
Решение
ОДЗ уравнения есть промежуток
Так как
то
 1  Cosx  1 и1  x  1
. 
0;
,
соsx  1 .
 x  2k , k  z
Соs x = 1 + x  

 x0
x  0
1  x.  1
Ответ: 0.
Применение метода оценок предполагает знание
и применение некоторых «опорных» неравенств:


неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим;
неравенство для суммы взаимнообратных чисел.
Решите уравнение
2Sin3x =2х + 2-х
Решение
ОДЗ уравнения есть интервал  ,) .
Для левой части уравнения имеем  2  2Sin3x  2 .
Для правой части по неравенству о взаимообратных числах получим
2 x  2 x  2 .
Таким образом,


2Sin3x
=
2

x

 2k / 3, k  z

x
-x
2Sin3x = 2 + 2   x

6
-x
2  2  2

x  0
Система решений не имеет.
Ответ: решений нет.
ЕГЭ МИОО 2012
B14. Найдите наименьшее значение функцииy  log 2 ( x 2  18 x  97)  7
Использование свойства четности
функции

Определение: функция называется четной, если
для любого значения x, взятого из области
определения функции, значение- x также
принадлежит области определения функции и
f ( x)  f ( x) .
Пример четных функций:
y  x ; y  3  x  1; y  Sinx ;
x
x
2
y  3  3 , y  sin(
x
2

2
 x).
Пример
При каких значениях параметра a, уравнение
x2
2  a  Cosx  x 4  a 2  5  0
имеет нечетное число решений?
Решение
Так как функции, входящие в уравнение имеют общую область
определения, то сумма, разность, произведение и частное частных
функций является четной функцией. 2
Следовательно, функция
f ( x)  2 x  a  Cosx  x 4  a 2  5
четная, то уравнение имеет нечетное число решений тогда и только
тогда, когда одним из решений уравнения является x=0.
f (0)  6  a  a 2
Найдем :
a2  a  6  0
Ответ:-3;2.
a  3,
a  2.

Графический метод

При решении уравнений и неравенств иногда
полезно выполнять эскизы графиков функций,
записанной в его левой и правой частях.
Решить уравнение
3  x  x  1  x 2  4x  6




Используем подход сравнения изменения областей правой и
левой части уравнения. ОДЗ уравнения 1; 3 .
Введем функцию f ( x)  3  x  x  1
Найдем производную:
1
1
3  x  x 1


2 3  x 2 x 1 2 3  x  x 1
f ( x)  0
f ( x) 
x
3  x  x  1  x  2;2  1;3.

x=2- точка max
f (2)  2, т.е. f ( x)  2;
3  x  x  1  2.

Введем функцию
g ( x)  x 2  4 x  6  ( x  2) 2  2  2
 f ( x)  2

 g ( x)  2
f ( x)  g ( x)  2, при x = 2
II Способ (графический)
Рассмотрим графическое решение. Построим графики
функций
f ( x) 
3 x 
и
x 1
g ( x)  x 2  4 x  6
g ( x)  x 2  4 x  6
f ( x) 
3 x 
x 1
Список литературы:
1.
Дихтярь М.Б. . Функции, уравнения, неравенства : Пособие для учителя.- Саратов: ГОУ ДПО
«СарИПКиПРО», 2006.-56с.
2.
Костаева Т.В. Иррациональные неравенства. Учебно-методическое пособие.- Саратов: ГОУ ДПО
«СарИПКиПРО», 2009.-40с .
3.
Крейнин, Я. Л. Функции. Пределы. Уравнения и неравенства с параметрами: теория и решение задач: Кн. для
учащихся / Я. Л. Крейнин. - М. : Просвещение, 1995. - 336 с.
4.
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое
пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемозина, 2010. — 202 с.
5.
Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения.10-11 класс : учебно-метод.
пособие / С.Н. Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко. — М. : Дрофа, 2002. — 219с.
6.
Семенов, АЛ. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семенов, И.В. Ященко,
И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, М.А. Посицельская, С.Е. Посицельский, С.А. Шестаков, Д.Э. Шноль, П.И.
Захаров, А.В. Семенов, В.А. Смирнов; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко.— 3-е изд., перераб. и доп. — М.:
Издательство «Экзамен», 2012. — 543с.
7.
Шахмейстер А.Х. Иррациональные уравнения и неравенства. —1-е изд. — СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2003. —
192 с.
8.
http://alexlarin.net.
9.
http://Uroki.net
10. http://www.math-on-line.com/