Лекция 5 «Теория оболочек

Теория оболочек
Оболочки
вращения, геометрические
параметры оболочек вращения
 Геометрические соотношения оболочек
вращения при осесимметричном нагружении
Оболочки вращения, геометрические параметры
оболочек вращения
Оболочки вращения осесимметричны, их координатная поверхность
представляет собой поверхность вращения (рис.1).




Рис.1. Оболочка вращения
Пересечение плоскости, которой принадлежит ось z, с координатной
поверхностью образует меридианальную кривую (меридиан).
Пересечение плоскости, ортогональной оси z, с координатной поверхностью
образует окружность, называемую параллелью.
Набор меридианальных кривых и параллелей определяет два семейства
координатных линий осесимметричной оболочки.
Геометрия оболочки вращения определяется формой меридиана.
Оболочки вращения, геометрические параметры оболочек
вращения
Рассмотрим оболочку в системе цилиндрических координат r,φ,z (рис.2).
Рис.2. Оболочка вращения в цилиндрической системе координат.
Точки поверхности вращения определяются значениями r и φ ,координата z не
является независимой z = z(r). Определим параметры Ламе, когда α меридианальное и β - окружное направления
(1)
Оболочки вращения, геометрические параметры
оболочек вращения
Определим главные кривизны поверхности вращения: R1 - радиус кривизны
меридиана,
(2)
Для определения радиуса кривизны R2 необходимо рассмотреть
треугольник О1О’ М и О2О” М - эту геометрическую задачу предлагается
решить самостоятельно (рис.3).
Рис.3. Центры кривизн оболочки вращения
Оболочки вращения, геометрические параметры оболочек
вращения
Рассмотрим деформирование оболочки при условии, что внешняя нагрузка
также обладает осевой симметрией. Тогда деформирование оболочки будет
иметь вид (модель С.П.Тимошенко):
(3)
в силу осевой симметрии отсутствуют окружные перемещения  z = 0, а это
возможно лишь при v = О и γ2 =0. Кроме того, неизвестные функции
u,w,y1 - функции аргумента r.
Рассмотрим геометрические соотношения:
(4)