распре~1

Распределение чисел вращения
для одномерных хаотических динамических систем.
Е.В. Кирпичева, аспирант каф. математического анализа НГПУ;
М.И. Малкин, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа НГПУ.
Нижний Новгород
Для траекторий дискретных динамических систем различной природы со сложной
(хаотической) динамикой часто удается ввести аналог числа вращения Пуанкаре как
асимптотическую фазовую скорость траектории. В частности, для эндоморфизмов окружности
степени 1 известно, что множество чисел вращения представляет собой замкнутый интервал
(возможно, тривиальный, т.е. вырождающийся в точку). Нетривиальность интервала вращения
указывает на сильные хаотические свойства системы и, например, влечет положительность
топологической энтропии и бесконечность множества периодических орбит.
В докладе рассматриваются эндоморфизмы (непрерывные необратимые отображения)
f:S1S1 окружности степени 1 имеющие нетривиальный интервал вращения (f)=[  –(f),+(f)],
т.е. удовлетворяющие условию  –(f)<+(f), где –(f) (соответственно, +(f)) есть число вращения
Пуанкаре монотонного отображения f –:S1S1 (соответственно, f +:S1S1) с поднятием F–:RR
F ( y ) (соответственно, F +(x)= sup F ( y) ) (здесь
(соответственно, F +:RR) вида F–(x)= inf
yx
yx
F:RR есть поднятие f ). Показано, что для любого int(f) множество траекторий, имеющих
число вращения , бесконечно, причем в случае рационального  можно найти бесконечное
множество периодических траекторий с числом вращения . С другой стороны, имеются
примеры отображений, для которых почти все траектории (в смысле меры Лебега) имеют одно и
то же число вращения.
Аналогичные вопросы распределения чисел вращения из интервала вращения
обсуждаются для разрывных отображений интервала лоренцевского типа, а также для
унимодальных отображений интервала.