Решение квадратных уравнений различными способами

Исследовательская работа по
математике
«Решение квадратных уравнений
различными способами»
Ученица 10 класса Усманова Лиана
Руководитель: Матвеева С.Н.
МБОУ «Кадетская школа»
Г.Чистополь Татарстан
1
Содержание
1. Определение квадратного уравнения, его виды
2. Из истории квадратных уравнений
3. Различные способы решения квадратных
уравнений:
 1) Разложение левой части уравнения на
множители
 2)Решение квадратных уравнений по формуле
 3)Решение уравнений с использованием
теоремы Виета
 4)Решение уравнений способом переброски
 5)Свойства коэффициентов квадратного
уравнения
 6) Графическое решение квадратного
уравнения
 7) Решение квадратных уравнений с помощью
циркуля и линейки
 8) Решение квадратных уравнений с помощью
номограммы
2
1. Определение квадратного
уравнения, его виды
Квадратным уравнением называется
уравнение вида
ax 2 + bx + c = 0, где х- переменная,
а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠
0.
3
Неполные квадратные уравнения
 1) ах 2 + с = 0, где с ≠ 0;в=0
2
 2) ах + bх = 0, где b ≠ 0;с=0
2
 3) ах = 0, где в=0,с=0
4
Различные способы решения
квадратных уравнений
 1. Разложение левой части уравнения на
множители
 Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0.
 Разложим левую часть уравнения на множители:
 Х 2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х
+12) = (х + 12)(х – 2).
 Следовательно, уравнение можно переписать так:
 (х + 12)(х – 2) = 0.
9
Разложение левой части уравнения
на множители
 Так как произведение равно нулю, то
по крайне мере один из его
множителей равен нулю. Поэтому
левая часть уравнения обращается в
нуль при х = 2, а также при х = - 12.
это означает, что числа 2 и – 12
2
являются корнями уравнения х +
10х – 24 = 0.
10
Решение квадратных
уравнений по формуле
b  b  4ac
2a
2
Х1,2 =
11
2
4х + 7х + 3 = 0.
2
а = 4, b = 7, с = 3, D = b – 4ас = 72 –
4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1
Х=  b  D
2a
Х=
 7 1
8
3
х1 = 
4
, х2 = –1
12
2
2
4х – 4х + 1 = 0,
 а =4, b = - 4, с = 1.
 D = b 2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0,
 D = 0, один корень;
b
4
1
,x  
,x 
Х= 
2a
24
2
13
2
2х +3х + 4 = 0
 а =2, b= 3, с = 4
2
 D = b – 4ас=9 – 4∙2∙4 =9 – 32 =
- 13
D < 0. Уравнение не имеет корней.
14
Решение уравнений с
использованием теоремы Виета
(прямой и обратной)
 Как известно, приведенное квадратное
уравнение имеет вид
 х2 + px + q = 0.
 Его корни удовлетворяют теореме Виета,
которая при а = 1 имеет вид
  x1 x2  q

 x1  x2   p
 Отсюда можно сделать следующие выводы
(по коэффициентам p и q можно предсказать
знаки корней).
15
Теорема Виета для квадратного
2
уравнения ах +вх +с = 0
имеет вид
c

x1 x2 


a

x  x   b
1
2

a

16
1
Примеры
2
Решить уравнение х – 9х + 14 =0
Попробуем найти два числа х 1 и х 2 ,
такие, что х 1+х 2 = 9 ,х1 х 2= 14
Такими числами являются 2 и 7. По
теореме, обратной теореме Виета,
они и служат корнями заданного
квадратного уравнения.
17
Решение уравнений способом
«переброски»
 Умножая обе его части на а, получаем
уравнение а 2х 2+ а bх + ас = 0.
у
Пусть ах = у, откуда х = ; тогда
а
приходим к уравнению
 у 2 + by + ас = 0, равносильного
данному. Его корни у 1и у 2 найдем с
помощью теоремы Виета.
18
Примеры
 Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
 «Перебросим» коэффициент 2 к
свободному члену, в результате получим
уравнение у2 – 11y +30 = 0.
 Согласно теореме Виета
6

х1 

 у1  6
 х1  3
2

у  5 
 2
 х2  2, 5
х  5
2


2
19
Свойства коэффициентов квадратного
уравнения.
 Если а + b + с = 0 (т.е. сумма
коэффициентов уравнения равна нулю),
с
 то х1 = 1, х2 = .
а
 Если а - b + с = 0, или b = а + с, то
с
 х1 = – 1, х2 = –
а
20
2
Решим уравнение 345х – 137х – 208 = 0.
 Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0)
 , то х1 = 1, х2 =  208
345
Решим уравнение
2
132х + 247х + 115 = 0
 Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то
 х1= - 1, х2= -
115
132
21
Если второй коэффициент b = 2k – четное
число, то формулу корней можно записать в
виде
k  k  ac
=
a
2
Х1, 2
22
Графическое решение квадратного
уравнения
 Решим графически уравнение
2
 х – 3х – 4 = 0.
 Решение. Запишем уравнение в виде
2
х = 3х + 4 . Построим параболу у = х 2 и
прямую у = 3х + 4.
 Прямую у = 3х + 4 можно построить по
двум точкам М (0;4) и N (3;13).
 Прямая и парабола пересекаются в двух
точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и
 х2 = 4.
23
у=х2
у
-1
0
у=-3х+4
4
х
24
Решение квадратных уравнений с
помощью циркуля и линейки.
 Допустим, что искомая окружность
пересекает ось абсцисс в
 точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2
2
– корни уравнения ах + bх + с = 0
с
и проходит через точки А (0;1) и С(0; )
а
на оси ординат. Тогда по теореме о
секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС откуда
 ОС =
ОВ . ОD х1  х2 с


ОА
1
а
25
у
c
а
C(0, )
S(
b ac
;
2a 2a
А(0; 1)
В(х1, 0)
D(х2, 0)
26
Решим графически уравнение
х 2– 2х – 3 = 0.
 Определим координаты точки центра
окружности по формулам
b
2

 1,
 Х=2a
2 1
1 3
ас
 1.
 У=
=
2 1
2а
 Проведем окружность радиуса S A, где
А (0;1).
27
Ответ: х1 = – 1 , х2 = 3
у
А
3
-1
х
S(1,-1)
28
Решение квадратных уравнений с
помощью номограммы.
 Это старый и незаслуженно забытый
способ решения квадратных уравнений,
помещенный на с.83 (см. Брадис В.М.
Четырехзначные математические
таблицы. – М., Просвещение, 1990).
 Таблица XXII. Номограмма для решения
уравнения z 2+ pz + q = 0. Эта
номограмма позволяет, не решая
квадратного уравнения, по его
коэффициентам определить корни
уравнения.
29
Примеры
1.Для уравнения
z2 – 9z + 8 = 0.
Номограмма дает корни
z1 = 8, 0 и z2 = 1,
2.Решим с помощью
номограммы уравнение
2 z2 – 9 z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты
Этого уравнения на 2,
получим уравнение
z 2– 4, 5 + 1 = 0.
Номограмма дает корни
z1 = 4 и z2 = 0,5.
30
 3. Для уравнения
 z2 + 5 z – 6 = 0
 номограмма дает
положительный
 корень z1 = 1,0, а
отрицательный
 корень находим, вычитая
 положительный корень
 из – р, т.е. z2 = – р – 1 =
 = – 5 – 1 = – 6,0 (рис.13.)
 4. Для уравнения
 z2 – 2z – 8 = 0
 номограмма дает
положительный
 корень z1 = 4,0,
отрицательный
 равен z2 = – р – z1 = 2 –
4 = – 2,0.
31
Литература
1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8
класс: Учебник для общеобразовательных
учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004
2.Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные
материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение,
1988
3.Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.:
просвещение, 1982
4.Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы
для среденй школы. – м., просвещение, 1990
5.Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и
неравенства. Пособие для учителя. – М.:
Просвещение, 1972
6.Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с
помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
7.Дидактические материалы по алгебре.
8.М., Математика (приложение к газете «Первое
сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.
32
Выводы
Квадратные уравнения играют огромную
роль в развитии математики.. Эти знания
могут пригодиться нам на протяжении
всей жизни.
Так как эти методы решения квадратных
уравнений просты в применении, то
они, безусловно, должно
заинтересовать увлекающихся
математикой учеников. Моя работа дает
возможность по-другому посмотреть на
те задачи, которые ставит перед нами
математика.
33