1_13

1.13. Уравнения Гинзбурга – Ландау
Уравнения Гинзбурга-Ландау (Г-Л) для
пространственно-неоднородных систем.
Функционал Г-Л. Феноменологический
вывод. Лондоновская длина. Длина
когерентности. Параметр Г-Л
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 В основе теории фазовых переходов второго рода Л.Д.Ландау
лежит разложение свободной энергии по степеням параметра
порядка, который мал вблизи точки перехода. Поскольку теория ГЛ
основана на таком разложении, ясно, что область ее
применимости ограничена близостью к критической температуре:
Тс-Т<<Тc
 Будем считать волновую функцию сверхпроводящих электронов
параметром порядка
 Рассмотрим сперва самый простой случай — однородный
сверхпроводник без внешнего магнитного поля
 Разложение свободной энергии:
2
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 После элементарных вычислений получим
 Плотность свободной энергии сверхпроводника в магнитном поле
равна
FsH  Fs 0  H2 / 8
 В
нормальном состоянии FsH=Fn при термодинамическом
критическом Hcm=H, когда внешнее поле проникает в
сверхпроводник. Отсюда находим
Fs 0  Fn  H2cm / 8
 Далее,
H2cm  42 / 
 Температурная зависимость термодинамического магнитного поля
вблизи критической температуры:
3
Hcm ~ ( Tc  T)
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Вблизи Тс разложение свободной энергии Гиббса:
 Плотность кинетической энергии частицы с массой m:
 Оператор скорости:
 Свободная энергия Гиббса всего сверхпроводника равна
 Решаем вариационную задачу
  G sH  0
4
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Первое уравнение теории ГЛ и граничное условие к нему:
 Второе уравнение теории ГЛ относительно векторного потенциала
А:
 Это
уравнение на сверхпроводящий ток, первая часть –
парамагнитный ток, пропорциональный градиентам параметра
порядка, второй – диамагнитный отклик, отвечающий за
экранирование внешнего поля
5
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Перейдем к безразмерной волновой функции, обезразмерив
параметр порядка на его значение в однородном бесконечном
случае
02  ns / 2 |  | / 
 Введем следующие обозначения для характерных длин:
 2   2 / 4m |  |
1  mc 2 / 4ns e2  mc 2 / 8e2 |  |
 Тогда уравнения ГЛ можно записать в более компактной и удобной
форме:
6
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Из
второго уравнения ГЛ в пренебрежении градиентами
параметра порядка легко получить уравнение Лондонов
(лондоновский предел), используя еще уравнения Максвелла, и
решение, показывающее экспоненциальное ослабление внешнего
магнитного поля вглубь сверхпроводника (эффект Мейсснера):
H  H0 exp[x / ]
 Зависимость от температуры:
 Параметр теории Гинзбурга-Ландау:
   /
7
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Перейдем к описанию метода, развитого Боголюбовым в 1959г. По
существу он является обобщением метода Хартри — Фока на
случай сверхпроводимости
 Гамильтониан БКШ:
H   (k  EF )ak ak 
k
 Полевые операторы:
 Оператор числа частиц:
 Гамильтониан:
8
V
ak a k  a k  ak 

2 kk '
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Учтем отсчет энергий от энергии Ферми:
 Параметр порядка:
(r )   (r ) (r ) 
* (r )   (r ) (r ) 
 Эффективный гамильтониан:
 Гамильтониан можно привести к диагональному виду с помощью
унитарного преобразования
9
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Уравнения Боголюбова:
 Уравнение самосогласованности:
 Коэффициенты преобразования Боголюбова:
 Нулевое приближение:
10
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Приближение первого порядка:
 Окончательно,
11
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Линеаризованное условие самосогласованности:
 Предположим,
что вектор-потенциал А мало меняется в
пространстве. Тогда собственные функции фn в нормальном
металле при наличии вектора-потенциала А отличаются от
собственных функций wn (в отсутствие А) лишь фазовым
множителем
12
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Окончательно имеем
 Рассмотрим однородную бесконечную среду и перейдем к фурье-
компонентам:
 Спектральная плотность одноэлектронного оператора eiqx
13
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Чистый металл:
 Грязный металл:
14
Теория Гинзбурга – Ландау
.
 Для чистого металла получаем:
 Аналогично в случае грязного металла
 Окончательные уравнения:
15