Электронный учебник Квадратные уравнения 8 класс Огаджанян Н.А.

Электронный учебник
Квадратные уравнения
8 класс
Огаджанян Н.А.
Оглавление
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Определение квадратного уравнения.
Коэффициенты квадратного уравнения.
Неполные квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений
Приведенные квадратные уравнения
Решение квадратных уравнений выделением полного квадрата
Формула корней квадратного уравнения
Корни квадратного уравнения с четным вторым
коэффициентом
Формула корней приведенного квадратного уравнения
Теорема Виета
Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида
Теорема, обратная теореме Виета
Квадратное уравнение
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2+bx+c=0, где
a,b,c – некоторые числа,
а≠0,
х - неизвестное
Пример 3х2 - 2x + 7 = 0 ;
-3,8х2 + 67x+13= 0 ;
18х2 +0,5х-164= 0 .
Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени с
одним неизвестным.
Коэффициенты квадратного
уравнения
Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения.
ах2 + bx + c = 0,
а - первый или старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член
Пример
3х2 + 4x - 8 = 0,
a=3,
b=4,
c=-8.
5t2 – 10t + 3.5 = 0,
a=5,
b=-10,
c=3.5
Неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение ax2+bx+c=0 называется неполным, если хотя
бы один из коэффициентов b или с равен нулю
ax2=0, b=0, c=0
ax2+bx=0, c=0,b≠0
a≠0.
ax2+c=0, b=0,c≠0.
Пример. -11х2 = 0;
5х2 + 13х = 0;
-24х2 +1 = 0.
Упражнения
№1. Какие из данных уравнений являются квадратными?
а) 5х2 - 14x + 17 = 0,
г) 17х + 24 = 0,
б) -7х2 - 13x + 8 = 0,
д) х2 + х = 0,
в) -13х4 +26 = 0,
е) 0,5 х2+4=0.
№2. Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения.
а) 5х2 - 14x + 17 = 0,
г) 2,3х2 + 4 = 0,
б) -х2 + x + 0,3 = 0,
д) -7х2 - 13x + 8 = 0,
в) х2 + 25x = 0,
е) -х2 - x = 0.
№3. Записать квадратное уравнение, если известны его коэффициенты.
а) a=2, b=3, c=4;
в) a=-1, b=0, c=9,
б) а=1, b=-5, c=0;
г) a=1, b=0, c=0.
Решение неполных квадратных
уравнений
1. Рассмотрим решение уравнения вида ах2 = 0
Разделим обе части уравнения на а ≠0. Получим уравнение х2 = 0
Это уравнение имеем единственный корень х = 0 .
Пример.
а)128х2 = 0,
б) -3,8х2 = 0,
х2 = 0,
х2 = 0,
х = 0.
х = 0.
Решение неполных квадратных
уравнений
2. ах2 + bx = 0, где b ≠ 0.
b
Тогда x ∙ (ax +b) = 0. Корни: х1 =0 и х2 = 
a
Пример
а) 2х2 + 7x = 0,
x ∙ (2x +7) = 0
х = 0 или 2х + 7 = 0,
х1 = 0
х2=-3,5.
Ответ: 0 и -3,5.
б) -х2 + 5x = 0
-x ∙ (x - 5) = 0
х = 0 или х = 5
Ответ: 0 и 5.
.
Решение неполных квадратных
уравнений
3. ах2 + c = 0, где с ≠ 0. Тогда x 2
c
Если  0 ,то корни
a
Если
c
c
x   , x 
1
2
a
a
Пример
1
а) 3x   0
2
3
б) -х2-4 = 0
3x 
2
х2 = -4
c

a
то
1
3
x 
2
c
0
a
корней нет
1
9
1
1
x   или x  .
3
3
нет корней.
Решить уравнение
( х  1)( х  1)  2( х 2  3)
В левой части уравнения свернем по формуле разности квадратов, в
правой раскроем скобки.
х2 1  2х2  6
Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые.
х 2  1  2 х 2  6  0,
 х2  5  0
х2  5
х1, 2   5
Упражнения
№4. Решите уравнения.
a) 4x2 – 9 = 0;
б) 3x2 – 4х = 0;
в) 2x2 + 3х = 0;
г) у2 – 9 = 0;
д) -x2 – 3 = 0;
е) 4а2 – 3а = 0;
ж) 2x2 – 6 = 0;
з) 4x2 – 3х + 7 = 2x2 + х + 7;
и) 3х (2х + 3) = 2х (х + 4,5) ;
Ответы
Приведенные квадратные
уравнения
Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у
которого первый коэффициент равен 1.
Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0 называется приведенным.
Пример.
x2 – 9х + 5 = 0, x2 + 18х – 15 = 0.
Всякое квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 может быть
приведено к виду x2 + px + q = 0 делением обеих частей уравнения
на а ≠ 0.
Пример.
4x2 + 8x + 3 = 0.
Разделим обе части уравнения на 4.
Получим приведенное квадратное уравнение
x2 + 2x + 0,75 = 0
Решение квадратных уравнений
выделением полного квадрата
Для решения квадратных уравнений применяется метод выделения
полного квадрата. Поясним этот метод на примере. Если квадратное
уравнение не является приведенным, то сначала его нужно привести
к виду x2 + px + q = 0
Решить уравнение х2 + 14x + 24 = 0.
Решение.
х2 + 14x + 24 = (х2 + 14x + 49) – 49 + 24 =
= (х + 7)2 – 25.
(х + 7)2 – 25 = 0,
(х + 7)2 = 25.
х + 7 = -5 или х + 7 = 5.
х1 = -12;х2 = -2.
Ответ: -12; -2.
Упражнения
№5. Найти такое положительное число m, чтобы данное выражение
было квадратом суммы или разности.
а) x2 + 4x + m;
в) x2 – 14х + m ;
б) x2 – mx + 4;
г) 4x2 – mx + 9.
№6. Решить уравнение выделением полного квадрата.
а) x2 – 4х - 5 = 0;
в) x2 + 4х - 12 = 0;
б) x2 + 2х - 15 = 0;
г) x2 – 10х + 16 = 0.
Ответы
Формула корней квадратного уравнения.
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто
приводит к громоздким преобразованиям. Поступают иначе. Решим
уравнение в общем виде и получим формулу корней квадратного
уравнения.
Выделим полный квадрат в левой
части уравнения
Свернем по формуле квадрата
разности
Разложим по формуле разности
квадратов.
Получим два корня в общем виде
записанные следующим
образом
Формула корней квадратного
уравнения
Корни квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0 можно найти по
формуле
b D
x
2a
, где
D = b2 – 4ac - дискриминант квадратного уравнения.
Число корней квадратного уравнения зависит от знака
дискриминанта. Возможны три случая: D<0, D=0, D>0.
Рассмотрим каждый случай
Формула корней квадратного
уравнения
1. D < 0. Тогда уравнение не имеет корней, т. к. не существует D.
Пример.
3х2 - x + 7 = 0.
D = (-1)2 – 4 ∙ 3 ∙ 7 = -83 < 0,
значит корней нет.
2. D = 0. Тогда уравнение имеет единственный корень:
Пример.
х2 - 4x + 4 = 0.
4
2
x


2
D = (-4) – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 0,
.
21
Формула корней квадратного
уравнения
1. D > 0.Тогда уравнение имеет 2 различных корня:
b D
x 
, 2
2a
b D
x 
1
2a
Пример
2х2 + 7x - 4 = 0.
a = 2, b = 7, c = -4.
D = 72 – 4 ∙ 2 ∙ (-4) = 81 > 0,
 7  81
x 
 4
1
22
 7  81 1
x 

2
22
2
,
.
.
Корни квадратного уравнения с
четным вторым коэффициентом
Если b = 2k, то корни уравнения ах2 + 2kx + c = 0 находятся по
Формуле
b

 D
k  D
1
1
x
 2
a
2a
, где
2
D 
1
d
b
 k 2  ac     ac
4
 2
Пример.
х2 + 18x + 32 = 0. а = 1; b = 18
k = b : 2 = 9; c = 32.
D1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 ∙ 32 = 49 > 0, значит уравнение имеет 2 корня:
 9  49
x 
 16, x  9  7  2.
1
2
1
.
Формула корней приведенного
квадратного уравнения
х2 + px + q = 0.
2
p
p
x       q
2
2
Пример.
х2 - x - 6 = 0.
p = -1, q = -6,
2
1
1
1
25 1 5
x       ( 6)  
  ,
2
2
4 2 2
 2
1 5
1 5
x    2, x    3.
1
2
2 2
2 2
Упражнения
№ 7. Решить уравнения.
а) 2х2 + 3x + 1 = 0;
г) 9х2 - 6x + 1 = 0;
б) 2х2 -7 x + 3 = 0;
д) 9х2 - 6x + 2 = 0;
в) 4х2 + 5x + 1 = 0;
е) х2 - 3x - 4 = 0.
№8. Найти все значения а, при которых уравнение ах2 + 8x + 2 = 0,
где а≠0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет корней.
Ответы
Теорема Виета
Теорема.
Если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения
х2 + px + q = 0, то
х1 + х2 = -р
формулы Виета
х 1 ∙ х2 = q
То есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену.
Пример.
х1 = -1; х2 = 3 – корни уравнения х2 - 2x - 3 = 0.
р = -2, q = -3.
х1 + х2 = -1 + 3 = 2 = -р,
х1 ∙ х2 = -1 ∙ 3 = q.
Теорема Виета для квадратного
уравнения общего вида
Теорема.
Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения
а х2 + bx + c = 0, то
b
x x 
1
2
x x 
1
2
a
c
a
Пример.
х1 = 1,5; х2 = 2 – корни уравнения 2 х2 - 7x + 6 = 0.
х1 + х2 = 3,5,
х1 ∙ х2 = 3.
Теорема, обратная теореме Виета
Теорема.
Если числа х1, х2, р и q связаны условиями
х1 + х2 = -р
х1 ∙ х2 = q
то х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения
х2 + px + q = 0.
Пример
Составим квадратное уравнение по его корням
x 2 3
1
и
 p  x  x  4
1
qx
1

2
x  2  3.
2
p  4;
x  (2  3 )  (2  3 )  4  3  1.
2
Искомое уравнение имеет вид х2 - 4x + 1 = 0.
Упражнения
№9. Решить квадратное уравнение используя теорему Виета.
а) х2 + 4x - 5 = 0;
г) х2 + 3x + 2 = 0;
б) х2 -8 x - 9 = 0;
д) 2х2 - 8x - 10 = 0;
в) х2 + 6x - 40 = 0;
е) х2 + 4x - 12 = 0.
№10. В уравнении х2 + px - 35 = 0 один из корней равен 7. Найти
второй корень уравнения и коэффициент p.
Ответы
Ответы к упражнениям
№1. а, б, д, е.
№2.
а
b
c
а)
5
-14 17
б)
-1
1
0,3
в)
1
25
0
г)
2,3 0
д)
-7
-13 8
е)
-1
-1
4
0
№3. а)2 х2 + 3x + 4 = 0;
б) х2 - 5 x = 0;
в) -х2 + 9 = 0;
г) х2 = 0
Ответы к упражнениям
№4. а) х1=-1,5 х2=1,5;
б) х1=0 х2=4/3;
в) х1=0 х2=-1,5;
г) х1=-3 х2=3;
д) нет корней;
е) х1=0 х2=0,75;
ж) х1=√3 х2=- √3;
з) х1=0 х2=2;
и) х1=0.
№5. а) m=4;
б) m=4;
в) m=49;
г) m=12;
Ответы к упражнениям
№6. а) х1=-1 х2=5;
б) х1=3 х2=-5;
в) х1=-2 х2=6;
г) х1=2 х2=8.
№7. а) х1=-1 х2=-1/2;
б) х1=3 х2=1/2;
в) х1=-1 х2=-1/4;
г) х=1/3;
д) нет корней;
е) х1=-1 х2=4;
№8. а) а<8;
б) а = 8;
в) а >8.
Ответы к упражнениям
№9. а) х1=-1 х2=-5;
б) х1=-1 х2=9;
в) х1=-10 х2=4;
г) х1=-2 х2=-1;
д) х1=-1 х2=5;
е) х1=-2 х2=6.
№10. х2=-5, р=-2.