Презентация №6

Решение простейших
тригонометрических уравнений.
у
Арксинусом числа
а называют такое
число из отрезка
[- П/2; П/2], синус
которого равен а.
1
П/2
а
arcsin а
х
0
-а
-1
-arcsin а
- П/2
arcsin (-a)=-arcsin a
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1) IаI>1
y
1
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет
1
решений.
1
x
1
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
2) IаI=1
sin t=1
t=П/2+2Пk
sin t=-1
t=-П/2+2Пk

1 2
1
1
x
1 
2
Частный
случай.
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1
3) а=0
t=Пk
1
1

0
1
Частный
случай.
x
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
4) IаI<1
y
1
П-arcsin а
Корни, симметричные
относительно Оу
могут быть записаны:
а
1
arcsin а
1
x
 arcsin a  2 Пk
t
 П  arcsin a  2 Пk
или
t=(-1)karcsin
1
a+Пk
Общий
случай.
Арккосинусом числа
а называют такое
число из промежутка
[0;П ], косинус
которого равен а
у
П-arccos a
1
arccos а
х
П
-а
0
а
-1
arccos (-a)=-П-arccos a
0
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
1) IаI>1
y
1
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет
1
решений.
1
x
1
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
2) IаI=1
cos t=1
t=2Пk
1
1
cos t=-1
t=П+2Пk
0

1
0
1
Частный
случай.
x
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.

1 2
3) а=0
t=П/2+Пk
1
0
1
x


2
Частный
случай.
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
4) IаI<1
Корни, симметричные
относительно Оx
могут быть записаны:
y
1
arccos а
1
а
x
 arccos a  2 Пk
t
  arccos a  2 Пk
или
t=±arccos a+2Пk
1
-arccos а
1
Общий
случай.
Арктангенсом числа а
называют такое число
из интервала
(-П/2;П/2), тангенс
которого равен а
у
1
П/2
а
arctg a
х
0
-arctg a
-1
- П/2
arctg (-a)=-arctg a
-а
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение tg t=a.
a – любое число.
а

2
arctg a
t=arctg a+Пk.
0
x

07.05.2016

2
Частных
случаев
нет.
13
Арккотангенсом числа а
называют такое число
из интервала (0;П),
котангенс которого -а
равен а
у
1
П-arcctg a
а
arcctg a
х
П
0
0
arcctg (-a)=П-arcсtg a
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение сtg t=a.
a – любое число.
t=arcctg a+Пk.
а
arcctg a

0
x
Частных
случаев
нет.
07.05.2016
15
3 

sin 4x    0
2 

Уравнение уже имеет простейший
3 

вид t   4x 
 , однако можно
2 

применить формулы приведения и
упростить его.
t
 cos 4x  0
t
cos 4x  0
Это частный вид
уравнения cos t=a
a=0

4x   k
2
Разделим обе части на 4.
О:
 k
x 
8 2
cos 4x  0
Учащиеся делят обе части на 4
и получают следующее:
cos x  0
Грубая ошибка.
2 cos 4x  1  0
Уравнение переносом слагаемого и
делением обеих частей легко сводится к
простейшему.
1
cos 4x 
2
t
1
cos 4x 
2
1
4x   arccos
 2k
2

4x    2k
4
Разделим обе части на 4.
 k
x 
16 2
О:
 k
x 
16 2


cos  3x   0
3

Это частный вид
уравнения cos t=a
a=0


 3x   k
3
2
 
 3x    k
2 3
Уравнение уже имеет простейший


вид t    3x 
3


 3x   k  (3)
6
 k
x 
18 3
О:
 k
x 
18 3

2

cos 2x   
2 2

2


cos  2x  
2
2

Уравнение уже имеет простейший
вид
можно использовать четность функции
cos, применить формулы приведения и
упростить его.
2
sin 2x 
2
2
2x  ( 1) arcsin
 k
2
k


t   2x   , однако,
2


2x  ( 1)  k
4
k
k 
x  ( 1)

8 2
2
k
О:
 k
x  ( 1)

8 2
k


1


cos 5x   cos x  sin 5x   sin x 
3
3
2


Здесь уместно использовать формулу косинуса разности
аргументов:
Решение удобнее разбить на два.


 1
cos 5x   x  
3

 2
 1

cos 4x   
3 2


 2k


3
4x   
3  
  2k
 3
Теперь уравнение
 k
имеет простейший вид.
 2
x
    k
 6 6
 2 k
4x   2

 2 k
 3
4
 k
 2
О: x  
    k
 6 6