+ y(z)

План лекции 5





лекция 5
Z-преобразование и его свойства
Представление ЛПП-систем в Z-области
Соединение ЛПП-систем
Рекурсивные и нерекурсивные фильтры
определение структурной схемы фильтра по разностному
уравнению
Z-преобразование
Определение: Одностороннее Z-преобразование
последовательности x(n) определяется
соотношением

X ( z )   x ( n) z  n
n0
где z = r exp (j ) - комплексная переменная
Im(z)
r0
Re(z)
лекция 5
Область
сходимости
Z-преобразование простых последовательностей
Пример 1. Z- преобразование единичного импульса (n).
Поскольку x(n)=0 при любых n, за исключением n=0, где x(n)=1,
то X(z) =1
Пример 2. Z-преобразование задержанной функции единичного
отсчета (n-k) равно z-k.
Пример 3. Z- преобразование единичной последовательности
u0(n). Поскольку x(n)=0 везде, кроме n0, где x(n)=1, то

X ( z)   z
n0
n
1

1  z 1
X(z) сходится при |z|>1, имеется одна особая точка (полюс) при
z=1.
лекция 5
Свойства Z-преобразования

Линейность
y(n) = ax1(n)+ bx2(n)
Y(z) = aX1(z)+ bX2(z)

2. Задержка последовательности.
Если Z{x(n)} = X(z) и x(n)=0 при n< 0, то y(n) = x(n-N) имеет Zпреобразование
Y(Z) = z-N X(z)

3. Умножение на n.
Если y(n)=nx(n), тогда Y(Z) = - zdX(z)/dz

4. Умножение на экспоненту.
Если y(n) = an x(n), тогда Y(Z) = X(a-1 z)

5. Свертка последовательностей.
Если Z{x1(n)} = X1(z) и Z{(x2(n)} = X2(z), тогда свертка
последовательностей имеет Z- преобразование
Y(z)= X1(z)X2(z).
лекция 5
Свойства ЛПП-систем
Свойство свертки Z-преобразования имеет очень важное
следствие:
если y(n) и x2(n) являются соответственно выходом и
импульсной
характеристикой h(n) ЛПП-системы, то
Y(Z) = X(z)H(z),
(1)
где H(z) - Z-преобразование импульсной характеристики,
которая
называется передаточной характеристикой системы
X(z)
Y(z)
H(z)

Из (1) получим H(z) = Y(z)/X(z).
лекция 5
Решение разностных уравнений
Z- преобразование является удобным аппаратом для решения
разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Применив Z- преобразование к обеим частям уравнения М-го
порядка
M
a
k 0
k
y (n  k ) 
M
 b x(n  k ),
k 0
k
n0
и используя свойства линейности и задержки, получим линейное
разностное уравнение М-го порядка, связывающее z-преобразование
входного сигнала x(n) с выходным y(n):
M
M
m 0
m 0
m
m
a
z
Y
(
z
)

b
z
 m
 m X ( z)
лекция 5
Решение разностного уравнения
Y(z) и X(z) - Z-преобразования
последовательностей y(n) и x(n).
Учитывая, что Y(z)= H(z)X(z), находим
M
m
b
z
m
H ( z)  m 0
M
m
a
z
 m
, a0  1
m 0
Применив обратное Z-преобразование к Y(z) можно
найти y(n) по известным x(n) и H(z)
лекция 5
Соединение ЛПП-систем
ЛПП - системы можно соединять последовательно,
параллельно, с обратной связью
x(z)
y(z)
H2(z)
H1(z)
H(z)
Последовательное соединение: результирующая
передаточная функция записывается
H(z) = H1(z)H2(z)
лекция 5
Параллельное соединение
H1(z)
y(z)
x(z)
+
H2(z)
H(z)
Входная последовательность у фильтров одинакова, а
выходная последовательность равна сумме выходов
фильтров.
Результирующая
запишется
лекция 5
передаточная
H(z) = H1(z) + H2(z).
характеристика
Соединение с обратной связью
y(z)
x(z)
+
H1(z)
(-/+)
H2(z)
Выходная
последовательность
подается на вход другого.
Результирующая
записывается
лекция 5
одного
передаточная
H(z) = H1(z)/ (1  H1(z)H2(z))
фильтра
характеристика
Рекурсивные и нерекурсивные фильтры
Для рекурсивных фильтров соотношение между входной
последовательностью x(n) и откликом фильтра y(n) можно
представить в виде
y(n) = F[y(n-1), y(n-2), ..., x(n), x(n-1), ...x(n-M)]
M
m
b
z
m
H ( z)  m 0
M
m
a
z
 m
, a0  1
m 0
текущий отсчет выходного сигнала y(n) определяется не
только текущими и предшествующими значениями входа,
но и предшествующими отсчетами выходного сигнала
лекция 5
Рекурсивные и нерекурсивные фильтры
Для нерекурсивных фильтров связь между входной
последовательностью и откликом имеет вид
y(n) = F[x(n), x(n-1), ...x(n-M)]
M
H ( z )   bm z
m
,
m 0
текущий отсчет на выходе зависит от текущего входного
отсчета и предшествующих значений входной
последовательности
лекция 5
Прямая форма структурной схемы фильтра
Прямая форма структурной схемы рекурсивного фильтра
непосредственно следует из представления
функции
передаточной
фильтра в виде дробно-рационального полинома
x(n)
z-1
b0
z-1
z-1
b1
bm
y(n)
+
-a2
-am
z-1
лекция 5
-a1
z-1
z-1
Прямая каноническая форма фильтра
Структурная схема фильтра содержит минимальное число
элементов
задержки. Передаточную
можно
M

функцию рекурсивного
m
представить
(z)H
H1 ( z )  1 (1ввидеa (H(z)
m) z= H)1
V (2(z)
z) /
фильтра
X ( z)
m1
M
H 2 ( z )   b ( m) z  m  Y ( z ) / V ( z )
m 1
Данным фильтрам соответствует пара разностных уравнений
M
H1: v ( n)  x ( n)   a (m) v ( n  m)
m 1
лекция 5
M
H2 : y (n)   b(m)v (n  m)
m 1
Прямая каноническая форма фильтра
x(n)
+
V(n)
z-1
z-1
z-1
лекция 5
y(n)
+
Параллельная форма фильтра
Структурная
схема
передаточной
соответствует
функции в виде суммы
H ( z )  c   Hl ( z )
представлению
L
l 1
где слагаемые Hl(z) соответствуют блокам второго или первого
порядка
1
b

b
z
0l
1l
Hl( 2 ) ( z ) 
1  a1l z 1  a2 l z  2
b0l
H ( z) 
c  bM / a M
1 ,
1  a1l z
(1)
l
лекция 5
Параллельная форма фильтра
C
x(n)
H1(z)
H2(z)
HL(z)
лекция 5
+