слайды(slides8)

Введение в
математическую логику
и теорию алгоритмов
Лекция 8
Алексей Львович Семенов
1
1
07.05.2016
План
•
•
•
•
Логика отношений
Выразимость
Невыразимость
Теорема Свенониуса
2
Теория равенства
• Сигнатура: имя двухместного отношения =
• Аксиомы:
• u (u=u) – рефлексивность,
• u,v (u=v  v=u) – симметричность,
• u,v,w (u=v  v=w  u=w) – транзитивность.
3
Теории с равенством. Нормальные
структуры
• Теория Г называется теорией с равенством, если
• (1) Г содержит аксиомы теории равенства,
• (2) для каждого имени отношения P, входящего в Г,
в теории Г имеется аксиома
u1,. . ., uk,v1, . . .,vk
((u1=v1  . . .  uk=vk) ⇒ (P(u1,. . .,uk)  P(v1,. . .,vk))).
Структура сигнатуры с равенством называется
нормальной, если имени “=“ Зн сопоставляет
совпадение предметов (обычное равенство).
4
Преобразование структуры в нормальную
Пусть M = <D, , Зн> – модель теории с равенством Г,
Определим M'= <D', , Зн'>, где
• D' – множество классов эквивалентности на D по
отношению, являющемуся значением символа =,
• Для каждого P из  Зн'(P)(A1,. . .,Ak) = 1 
Зн(P)(a1,...,ak) = 1 для каких-то ai ∈ Ai.
Задача.
(1) Определение корректно (не зависит от выбора a1,...,ak)
(2) M' – нормальная структура,
(3) для любой формулы (x1,. . . , xk)
M' ⊨ (A1,. . . ,Ak)

M ⊨ (a1,. . . , ak), ai ∈ Ai.
Доказательство (3) – индукция по построению.
5
Пространства определимости
Считаем, что языке есть равенство и структуры - нормальные.
Отношение R(X) определимо в структуре S = < A, ∑ > –
существует формула логики отношений сигнатуры ∑, задающая в
структуре S отношение R. (R – n-местное отношение, все
свободные переменные формулы имеют номера не больше n.)
Дано множеств отношений P на A (без имен).
Выберем в P конечное подмножество. Дадим отношениям из него
имена, составляющие какое-то множество ∑, построим структуру.
Возникает множество определимых в ней отношений.
Множество всех получаемых так отношений – замыкание P , или
пространство определимости, порожденное P .
Отношение включения, пересечения – обычные теоретикомножественные. Операция объединения – замыкание теоретикомножественного объединения (аналогично линейным
подпространствам) и т.д.
6
Пространства определимости «бескоординатны».
Пространства отношений
• Как доказать определимость?
– Предъявить формулу
– Мы определяли экспоненту через сложение и
умножение.
• Как доказать неопределимость?
– Невозможность сложнее установить.
– Иррациональность корня из двух, несчетность
континуума.
• Задача: Можно ли определить порядок целых
чисел через сложение?
– Смена знака сохраняет сложение и не сохраняет
порядок.
– Что значит «сохраняет»?
7
Автоморфизмы
• Неопределимость порядка через
сложение: автоморфизм <Z,+ > – смена
знака φ(x) = - x
• Можно ли определить сложение через
порядок ?
– Автоморфизм Z, < > –сдвиг (+1): φ(x) = x+1
• Как быть в случае натуральных чисел?
– Есть ли автоморфизмы у <N,{<} >,
например?
8
Конец XIX – начало XX столетия, Италия
Основания арифметики и геометрии
Марио Пьери
22.06.1860 –
01.03.1913
Джузеппе Пеано
27.08.1858 –
20.04.1932
1908 Точка и сфера
Полная аксиоматизация Евклидовой
геометрии на основе понятий точки и
равноудаленности двух точек от
9
третьей
Конец XIX – начало XX столетия, Италия
Основания арифметики и геометрии
1900
• Алессандро
Падоа
• 14.10.1868 –
25.11.1937
Международный философский
конгресс
Эссе алгебраической теории целых
чисел, предваряемое логическим
введением во всякую дедуктивную
теорию
Второй международный конгресс
математиков
Новая система определений для
Евклидовой геометрии
10
Падоа
• Параллель между
– аксиоматическим методом, при котором теоремы
выводятся из аксиом и
– определением одних понятий из других
Метод Падоа, 1900
Чтобы доказать, что система неопределенных
символов не сводится к системе недоказанных
предложений [аксиом], необходимо и достаточно
найти, для каждого из неопределенных символов
интерпретацию системы неопределенных
символов, которая удовлетворяет системе
недоказанных предложений [аксиом] и которая
удовлетворяет ей при изменении смысла только
этого символа
11
1920-1930-е, Польша (Россия, Пруссия)
Основания логики
Польская школа логики: СтанИслав Лесневский,
Ян Лукасевич, Вацлав Серпинский…
Альфред Тарский
14.01.1901 – 26.10.1983
Адольф Линденбаум
12
12.06.1904 – 1941, Поняры
Геометрия
Примитивными понятиями Геометрии Тарского
являются:
• Точка
• Два отношения между точками:
– Трехместное отношение «лежать между»
– Четырехместное отношение: «конгруэнтность пар
точек»
Использование метода Падоа
• Линденбаум и Тарский: в геометрии не существует
семейства бинарных отношений (между точками),
через которое можно определить все отношения.
• Выбор Пьери одного трехместного отношения
является, в некотором смысле, оптимальным.
13
ТЕОРЕМА СВЕНОНИУСА
Пусть M = < A,  ⋃ { R } > –
счетная структура .Следующие
два условия эквивалентны:
(i) R не определимо в <A,  >,
(ii) существует счетное
элементарное расширение
M′ = < A′,  ⋃ { R } >
Ларс Свенониус
1927 - 27.09.2010
структуры M и
автоморфизм < A′,  > ,
не сохраняющий R.
Т. е., метод автоморфизмов
универсален.
Вопрос. Как связаны Зн символов
из  ⋃ { R } на A и A′ .
14
Еще о логике отношений
В сигнатуре могут иметься и имена объектов (а не только
имена отношений).
Задача. Построить логику (формулы, семантика).
•Th(M) – множество утверждений, истинных в M , возможно,
содержащих имена элементов из D.
•Пусть M = ⟨D,Σ,Зн⟩, D1  D.
•Подструктура M1 = ⟨D1,Σ,Зн1⟩, отображение Зн1 является
ограничением Зн на D1, объекты с теми же именами те же.
•M1 – элементарная подструктура M :
M ⊨ Φ(a)  M1 ⊨ Φ(a)
для любых формул Φ и наборов a = < a1, ..., ak >  D1* .
M – элементарное расширение M1. Обозначение M1 ≺ M
•Очевидно M эквивалентна M1.
15
З. M1 изоморфно элем. расширению M  M1 модель Th(M).
Доказательство
Задача. отношение ≺ транзитивно.
Задача. Пусть M0 ≺ · · · ≺ Mn ≺ . . . – цепочка структур.
Определить структуру ⋃i Mi
Утверждение 1. Пусть M0 ≺ · · · ≺ Mn ≺ . . . – цепочка
структур. Тогда для любого j : Mj ≺ ⋃i Mi .
Доказательство (Задача)
•Индукция по построению формулы. Как и в критерии
элементарного расширения, нетривиален случай…
• (Все, что есть в пределе, возникло до предела.)
Доказательство (ii) ⇒ (i).
Задача. Если определимо, то сохраняется при
автоморфизмах.
Идея: если R(x) выражается в M формулой (в сигнатуре ),
16
то в M′ оно выражается той же формулой…
• Доказательство (i) ⇒ (ii).
Будем строить M ≺ M0 ≺ M1 ≺ · · · ≺ Mn ≺ . . . и конечные
биекции φ0 ⊂ φ1 ⊂ . . . ⊂ φn ⊂. . . , φi : Mi → Mi.
В процессе построения нам потребуется нумерация
элементов структур Mi, будем их нумеровать так, что
{a< 0, 0 >, . . . , a< 0, n >, . . . } – все элементы M0,
{a< i, 0 >, . . . , a< i, n >, . . . } – все элементы Mi \ Mi−1.
(Последовательность счетных множеств и нумерацию
можно заготовить заранее.) Перебирая элементы в
порядке номеров мы получим все множество ⋃i Mi .
• Отображения φi будут удовлетворять условию:
(*) если {a1, . . . , am} – область определения φi , а
Q(x1, . . . , xm) – произвольная формула в сигнатуре , то
Mi ⊨ Q(a1, . . . , am) ≡ Q(φi(a1), . . . , φi(am)). Т. е. φi –
«частичный изоморфизм».
•
Заметим, что из (*) следует взаимная однозначность φi17
,
поскольку равенство входит в сигнатуру .
Шаг 0. структура M0.
n – число аргументов отношения R.
Пусть Q1, …,Qk ,… – все n-местные формулы в сигнатуре .
Добавим имена a, b ;
Th(M) ⋃ {Qi (a) ≡ Qi (b) | i } ⋃ {¬ R(a) ≡ R(b)} непротиворечива.
Иначе (теорема компактности) для некоторого k :
(∗∗) M ⊨  x, y ((ki = 1 (Qi (x) ≡ Qi (y)) → R(x) ≡ R(y))
Множество Mn разбивается на 2k подмножеств,
где все Q1,… ,Qk постоянны (для x, y из одного подмножества
посылка истинна).
(**) утверждает, что отношение R постоянно на каждом из этих
подмножеств.
Задача. Тогда R определимо.
18
Шаг 0. структура M0.
Итак, Th(M) ⋃ {Qi (a) ≡ Qi (b) | i } ⋃ {¬ R(a) ≡ R(b)} имеет
модель M0,
M ≺ M0
в ней a, b – получают значения.
Определим φ0 так, чтобы φ0(Зн a) =Зн b.
Выполнено условие (*) – частичный изоморфизм, не
сохраняющий R.
Дальше несохранение будет получаться автоматически в
силу последнего утверждения.
Мы не будем слишком последовательны в обозначениях для
имен и для объектов.
19
Шаг i. Поочередно расширяем область определения и
область значения отображения. Строим Mi+1и φi+1.
i – четно, e – первый элемент Mi, не входящий в область
определения { e1, . . . , em} отображения φi.
Пусть Q = Q1, . . . ,Qk, . . . – все (m + 1)-местные формулы в .
Обозначения j= (Mi ⊨ Qj (e1, . . . , em ,e))
• (0, A)= A, (1, A) = A, (как для д.н.ф.)
• Теория Th(Mi) ⋃ {(j, Qj (φi (e1), . . . , φi (em), b)) | j }
непротиворечива (здесь b – новое имя объекта). Иначе
Mi ⊨ ¬(x (kj = 1 (j, Qj (φi (e1),… , φi (em), x)))) для некоторого k.
• По индуктивному предположению (*) - φi частичн. изоморф. :
Mi ⊨ ¬(x (kj = 1 (j, Qj (e1, . . . , em ,x)))), но
Mi ⊨
kj = 1 (j, Qj (e1, . . . , em , e)).
• Итак, есть модель - Mi+1. Положим φi+1 = φi ⋃ {< e, d >}, где d
– значение имени b.
20
Задача. Построение для нечетного i. Рассмотреть первый
элемент не из образа φi.
В качестве структуры M′ возьмем объединение
структур
Mi, а в качестве отображения φ – объединение
отображений φi.
Задача. утверждение (ii) выполнено.
Д. почему изоморфизм…
□
Задача.
1. Высказать гипотезу обо всех подпространствах
определимости порядка рациональных чисел
2. Применить теорему Свенониуса для
доказательства гипотезы
Задача. То же для отношения следования целых
чисел.
21
(Семенов – Сопрунов)