Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Алексей

Введение в
математическую логику
и теорию алгоритмов
Лекция 7
Алексей Львович Семенов
1
1
22.10.2014
План
•
•
•
•
Пространства определимости
Доказательства неопределимости
Автоморфизмы
Достаточность (полнота)
автоморфизмов
• Примеры
2
Пространства определимости
В логическом языке есть равенство
Отношение R(X) определимо в структуре S = < A, ∑ > –
существует формула логики отношений сигнатуры ∑,
задающая в структуре S отношение R. (R – n-местное
отношение, все свободные переменные формулы имеют
номера не больше n.)
Можно начинать с множества отношений R на A (без имен),
дать им имена, построить структуру...
Множество всех определимых отношений мы называем
замыканием R , или пространством отношений,
порожденным R .
Отношение включения, операции объединения и
пересечения – были определены (аналогично линейным
подпространствам) и т.д.
Различные терминологии…
3
Пространства отношений
• Как доказать определимость?
– Предъявить формулу
– Мы определяли экспоненту через сложение и
умножение.
• Как доказать неопределимость?
– Невозможность вообще сложнее устанавливать.
– Иррациональность корня из двух, несчетность
континуума.
• Задача: Можно ли определить порядок целых
чисел через сложение?
– Смена знака сохраняет сложение и не сохраняет
порядок.
– Что значит «сохраняет»?
4
Автоморфизмы
• Неопределимость порядка через
сложение: автоморфизм <Z,+ > – смена
знака φ(x) = - x
• Можно ли определить сложение через
порядок ?
– Автоморфизм < Z, < > –сдвиг (+1): φ(x) = x+1
• Как быть в случае натуральных чисел?
– Есть ли автоморфизмы у < N,{<} >,
например?
5
Конец XIX – начало XX столетия, Италия
Основания арифметики и геометрии
Марио Пьери
22.06.1860 –
01.03.1913
Джузеппе Пеано
27.08.1858 –
20.04.1932
1908 Точка и сфера
Полная аксиоматизация Евклидовой
геометрии на основе понятий точки
и равноудаленности двух точек от6
третьей
Конец XIX – начало XX столетия, Италия
Основания арифметики и геометрии
1900
• Алессандро
Падоа
• 14.10.1868 –
25.11.1937
Международный философский
конгресс
Эссе алгебраической теории целых
чисел, предваряемое логическим
введением во всякую дедуктивную
теорию
Второй международный конгресс
математиков
Новая система определений для
Евклидовой геометрии
7
Падоа
• Параллель между
– аксиоматическим методом, при котором теоремы
выводятся из аксиом и
– определением одних понятий из других
Метод Падоа, 1900
Чтобы доказать, что система неопределенных
символов не сводится к системе недоказанных
предложений [аксиом], необходимо и достаточно
найти для каждого из неопределенных символов
интерпретацию системы неопределенных
символов, которая удовлетворяет системе
недоказанных предложений [аксиом] и которая
удовлетворяет ей при изменении смысла только
этого символа
8
1920-1930-е, Польша (Россия, Пруссия)
Основания логики
Польская школа логики: СтанИслав Лесневский,
Ян Лукасевич, Вацлав Серпинский…
Альфред Тарский
14.01.1901 – 26.10.1983
Адольф Линденбаум
9
12.06.1904 – 1941, Поняры
Геометрия
Примитивными понятиями Геометрии Тарского
являются:
• Точка
• Два отношения между точками:
– Трехместное отношение «лежать между»
– Четырехместное отношение: «конгруэнтность пар
точек»
Использование метода Падоа
• Линденбаум и Тарский: в геометрии не существует
семейства бинарных отношений, через которые
можно определить все остальные.
• Выбор Пьери одного трехместного отношения
является, в некотором смысле, оптимальным.
10
Напоминание. Элементарная подструктура и
элементарное расширение
• a – набор (вектор, цепочка) < a1, ..., ak >, и т. д.
• M = ⟨D,Σ,Зн⟩, D1 ⊆ D.
• Подструктура M1 = ⟨D1,Σ,Зн1⟩,
отображение Зн1 является ограничением Зн на D1.
• M1 – элементарная подструктура M :
M Φ(a) ⇔ M1 Φ(a) для любых Φ и наборов a ∈ D1* .
M – элементарное расширение M1.
Очевидно, M эквивалентна M1.
Обозначение M1 ≺ M
11
ТЕОРЕМА СВЕНОНИУСА
Пусть M = < A, Σ { R } > –
счетная структура .Следующие
два условия эквивалентны:
(i) R не определимо в <A, Σ >,
(ii) существует счетное
элементарное расширение
M′ = < A′, Σ { R } >
структуры M и
автоморфизм < A′, Σ > ,
не сохраняющий R.
Ларс Свенониус
1927 - 27.09.2010
Т. е., метод автоморфизмов
универсален.
12
Доказательство
В доказательстве мы построим цепочку элементарных расширений и
автоморфизмов.
Задача. Отношение ≺ транзитивно.
Утверждение 1. Пусть M0 ≺ · · · ≺ Mn ≺ . . . – цепочка структур. Тогда
для любого j : Mj ≺ i Mi = M′.
Доказательство (Задача)
(Все, что есть в пределе, возникло когда-то до предела.)
В формулах будут встречаться имена предметов не из сигнатуры,
специально это не отмечаем.
Th(M) – множество утверждений, истинных в M , возможно, содержащих
имена элементов из D.
Доказательство (ii) ⇒ (i).
Задача. Если определимо, то сохраняется при автоморфизмах.
(контрапозиция утверждения).
Идея: если R(x) выражается в M формулой (в сигнатуре Σ), то в M′ оно
выражается той же формулой…
13
• Доказательство (i) ⇒ (ii).
Будем строить M ≺ M0 ≺ M1 ≺ · · · ≺ Mn ≺ . . . и
конечные биекции φ0 ⊂ φ1 ⊂ . . . ⊂ φn ⊂ . . . , где φi : Mi → Mi.
В процессе построения нам потребуется нумерация элементов
структур Mi, будем их нумеровать так, что
{a< 0, 0 >, . . . , a< 0, n >, . . . } – все элементы M0,
{a< i, 0 >, . . . , a< i, n >, . . . } – все элементы Mi \ Mi−1.
(Нумерацию пар можно заготовить заранее.)
• Отображения φi будут удовлетворять условию:
φi – частичный изоморфизм, то есть для произвольной формулы Q в
сигнатуре Σ и набора a элементов области определения φi
выполнено
(*) Mi Q(a) ≡ Q(φi(a)).
Заметим, что из нашего условия следует взаимная однозначность φi,
поскольку равенство имеется.
14
• Шаг 0. структура M0.
n – число аргументов отношения R. Пусть Q1, . . . ,Qk , . . . – все nместные формулы в сигнатуре Σ. Добавим имена a, b (2n имен).
Th(M) {Qi (a) ≡ Qi (b) | i } {¬ R(a) ≡ R(b)} непротиворечива, т. е.
имеет модель - M0 .
Иначе для некоторого k :
(∗∗) M ∀ x, y ((∧ki = 1 (Qi (x) ≡ Qi (y)) → R(x) ≡ R(y))
Задача. Привести (∗∗) к противоречию (используйте Т комп.)
Множество Mn разбивается на 2k подмножеств, где Q1,… ,Qk
постоянны (для x, y из одного подмножества посылка истинна). (**)
утверждает, что отношение R постоянно на каждом из этих
подмножеств.
Задача. Тогда R было бы определимо.
Задача: M ≺ M0 .
В модели M0 a, b – получают значения.
Определим φ0 так, чтобы φ0(a) = b.
Выполнено условие (*) – частичный изоморфизм, не сохр. R.
15
Шаг i. Строим Mi+1 и φi+1. Забываем про R.
Поочередно следим за расширением области определения
и области значений отображения.
i – четно,
Пусть область определения отображения φi состоит из m элементов, c
– их набор, и a – первый элемент Mi не из c.
Пусть Q = Q1, . . . ,Qk, . . . – все (m + 1)-местные формулы в Σ.
Обозначения: αj= (Mi Qj (c ,a)), (0, A)= ¬A, (1, A) = A,
для конечного набора Qj , (α, Q) - это свертка ∧kj = 1 (αj, Qj).
Теория Th(Mi) {(αj, Qj (φi (c), b) | j } непротиворечива
(здесь b – новое имя предмета).
• Иначе Mi ¬(∃
∃x (α, Q (φi (c), x))) для некоторого Q.
• По индуктивному предположению (*) - φi частичн. изоморф. :
∃x (α, Q (φi (c), x))) , но Mi (α, Q (φi (c), a)) .
Mi ¬(∃
Есть модель – Mi+1. Mi ≺ Mi+1 (Задача).
Положим φi+1 = φi {< a, b >}.
16
Задача. Построение для нечетного i.
Рассмотреть первый элемент не из образа φi…
• В качестве структуры M′ возьмем объединение
структур Mi,
а в качестве отображения φ – объединение
отображений φi.
Задача. Утверждение (ii) выполнено. □
17
Пространства определимости
• Класс R отношений на D. Имена отношений – ∑, Зн.
• Формулы логики отношений в сигнатуре ∑
• Все определимые отношения – замыкание R –
пространство определимости – все, что можно
«объяснить через R»
• Примеры, которые были:
– «между» определимо через «больше»,
– экспонента определима через сложение и умножение
натуральных чисел.
• Задача. Доказать, что всякое замыкание конечного множества
отношений является замыканием одного отношения.
• Бескванторная определимость.
• Элиминация кванторов – способ описать все определимое.
• Было:
– Элиминация кванторов в порядке рациональных чисел.
– Элиминация кванторов в поле действительных чисел.
18
Автоморфизмы
Структура M = ⟨ D, ∑, Зн ⟩
Автоморфизм φ – биекция (взаимно-однозначное
отображение) D на себя, при которой сохраняются все
отношения:
(Зн P )(a) = (Зн P )(φ(a)) для всякого P из ∑ и всякого a –
набора элементов D.
Группа Aut (M)
Автоморфизмы упорядоченных множеств (порядков)
Задача. Каковы группы автоморфизмов порядков N, Z, Q, R ?
Задача. Aut ( ⟨ Z, + ⟩ ) = ?
Задача. Aut ( ⟨ N+Z, < ⟩ ) = ?
19
Автоморфизмы и определимость
• Задача. Все определимые отношения
сохраняются при автоморфизмах.
• Доказательство не-определимости. Указание
автоморфизма, не сохраняющего...
• Неопределимость порядка через сложение:
автоморфизм Z – смена знака
• Можно ли определить сложение через порядок ?
• Автоморфизм Z – сдвиг (+1): φ(x) = x+1
• Как быть в случае натуральных чисел?
20
Подпространства и надгруппы
• Фиксируем множество D.
• Будем рассматривать различные пространства
определимости на D.
• Каждому пространству соответствует группа
автоморфизмов, сохраняющих элементы этого
пространства – подгруппа группы всех перестановок.
• Каждой группе автоморфизмов соответствует
пространство определимости, отношения из которого она
сохраняет.
• Больше отношений – меньше группа. Соответствие Галуа
• Было: больше аксиом – меньше моделей.
• Берем под-пространство, получаем над-группу.
21
Подпространства в порядке на
рациональных числах
• xB(y,z) ⇔ (y < x < z) ∨ (z < x < y) – между
• C(x,y,z) ⇔ (x < y < z) ∨ (z< x < y) ∨ (y < z < x) – цикл
• (x,y)S(zt) ⇔ (zB(x,y) ∧ ¬tB(x,y)) ∨ (¬zB(x,y) ∧ tB(x,y)) ⇔
⇔(C(x,y,z) ∧¬C(x,y,t)) ∨ (¬C(x,y,z) ∧ C(x,y,t)) – зацепление
Задача.
Есть ли еще подпространства?
Андрей Мучник
(24.02.1958 - 18.03.2007)
Доказательства:
Камерон
Фране
22
Различение подпространств
Пример. Как устроены подпространства в ⟨Q, < ⟩?
Изучим надгруппы группы ГQ, < – это все монотонно
возрастающие биекции.
Задача. Установить соответствие между подпространствами,
порождёнными =, S, C, B и следующими группами:
1. Группа, порождённая биекциями ГQ, < и сменой знака.
2. Группа, порождённая ГQ, < и отображением, которое перекладывает
(меняет местами) два (бесконечных) интервала ( – ∞, α ) и ( α, + ∞ ),
то есть монотонно возрастающим образом отображает каждый из
них на другой, причём α – иррациональное число, например, π.
3. Группа, порождённая элементами из 1 и 2.
4. Группа всех биекций Q.
Задача. Есть ли ещё надгруппы?
Задача. Доказать теорему.
23
Теорема Свенониуса
• «Теорема полноты» для определимости
• Теорема Геделя: все, что истинно во
всех моделях, – выводимо.
• Теорема Свенониуса: все, что
выдерживает автоморфизмы
элементарных расширений, –
определимо.
24
Определимость в порядке на
натуральных числах
• Формула Ф(x) с одной свободной переменной.
• Модель ⟨ N+Z,< ⟩ элементарно эквивалентна ⟨ N,< ⟩.
• Сдвиг на 1 в компоненте Z – автоморфизм, значит на
второй компоненте Ф постоянна. Значит, верна
формула, что начиная с некоторого места Ф истинна,
или верна формула, что начиная с некоторого места Ф
ложна.
• Значит, на N формула Ф(x) также постоянна, начиная с
некоторого натурального числа, то есть задает
конечное множество или дополнение к нему.
• Мы воспользовались автоморфизмом элементарного
расширения.
• Задача. Сформулировать и доказать аналогичное
утверждение для формул с несколькими свободными
переменными.
25