Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Алексей Львович Семенов

Введение в
математическую логику и
теорию алгоритмов
Лекция 14
Алексей Львович Семенов
1
1
07.05.2016
План
• Система аксиом Теории множеств ZF
• Сокращения
• Натуральные числа
2
Построение математики
• Язык для записи математических утверждений
– Логика отношений.
• Исчисление.
– Правильная система математических аксиом.
– Правила вывода – исчисление логики отношений
• Обоснование полноты системы аксиом?
– Теорема Гёделя о неполноте.
• Обоснование непротиворечивости системы
аксиом?
– Вторая теорема Гёделя: невозможность доказать
непротиворечивость даже в самом исчислении
3
Теория множеств Цермело
– Френкеля ZF
• Сигнатура ZF = {=, ∈}, a ∈ b
• Множество – {b из M|M ⊨ b ∈ a
для некоторого a из M }
• Задача. Может ли сама
структура M быть множеством?
Эрнст Цермело
27 07 1871 — 21 05 1953
Абрахам Фре́нкель
(17.02.1891 – 15.10.1965)
4
Аксиомы ZF
• ∃s∀v(v ∈ s ≡ Φ(v))
Можно ли для каждой формулы Φ(x)
добавить такую аксиому?
• Φ(x) = x  x
∃s∀v(v∈s≡v v)
s={v|vv}
• s∈s⇔s s
• парадокс Рассела
{x|x  x} – не (образуют) множество
5
Аксиомы ZF
• Четыре типа (схемы) аксиом существования
множеств
• Аксиомы подмножеств
∀t∀u∃s∀v(v ∈ s ≡ (v ∈ u ∧ Φ(t,v))),
t – цепочка t1,..., t n
• для любой формулы Φ(y, x)
{x|x ∈ a, Φ(b, x)} – множество
6
Аксиомы ZF
• Аксиомы замены
• ∀t(∀u∃v∀w(w ∈ v ≡ Φ(t, u, w)) →
→ ∀v∃s∀w(∃u(u ∈ v ∧ Φ(t,u,w)) ≡ w ∈ s) )
Чтобы понять, что это значит, рассмотрим случай без t:
• ∀u∃v∀w(w ∈ v ≡ Φ(u, w)) →
→ ∀z∃s∀w(∃u(u ∈ z ∧ Φ(u,w)) ≡ w ∈ s)
• Если для всякого u формула Φ(u,w) задает множество v
элементов w, то из всякого множества z выберем элементы w,
находящиеся в отношении Φ(u,w) с каким-то u из z . Все эти
элементы образуют множество s.
• Φ(t, x, y) ⇔ Ft(x) = {y|Φ(t, x, y)}
для любого x, Ft(x) – множество ⇒
⇒ для любого a, {y|x ∈ a, y ∈ Ft(x)} – множество
7
Аксиомы ZF
• Акисома степени
∀u∃s∀v(∀w(w ∈ v → w ∈ u) ≡ v ∈ s)
Обозначение x ⊂ y ⇔ ∀u(u ∈ x → u ∈ y)
• Аксиома означает, что {x|x ⊂ a} –
множество
8
Аксиомы ZF
• Аксиома бесконечности
∃s(∃u(u ∈ s ∧ ∀v(v  u))∧
∧∀u(u ∈ s → ∃v(v ∈ s ∧ ∀w(w ∈ v ≡ (w ∈ u ∨ w = u)))))
• З. Что это значит содержательно?
• Аксиомы существования закончились
9
Аксиомы ZF
• Аксиома объемности
∀u, v (∀w(w ∈ u ≡ w ∈ v) → u = v)
• Описываемая структура – класс всех
”чистых” множеств. Множество полностью
определяется своими элементами (тоже
множествами).
10
Аксиомы ZF
• Аксиома регулярности (фундирования)
∀u(∃v(v ∈ u) → ∃v(v ∈ u ∧ ¬∃w(w ∈ v ∧ w ∈ u)))
• Не бывает бесконечных цепочек
···∈an ∈an−1 ∈···∈a2 ∈a1
• Мы не будем использовать эту аксиому
11
Аксиомы ZF
• У нас были аксиомы:
• Аксиома пустого множества
∃s∀u(u  s)
• Аксиома пары
∀u, v ∃s∀w(w ∈ s ≡ (w = u ∨ w = v)) {x|x = a ∨ x = b}
• Без них можно обойтись (вывести их из других)
12
• Мы считаем, что у теории ZF есть модель.
• выражение ZF ⊨ Φ обозначает, что
утверждение Φ следует из теории ZF, то
есть утверждение Φ истинно во всех
моделях теории ZF.
13
Обозначения и сокращения
• ∃!u Φ(u) сокращение для
∃u(Φ(u) ∧ ∀v(Φ(v) → u = v)) ZF ⊨ ∃!s∀u(u  s)
• Пустое множество ∅
• ∅ ∈ x сокращение для
∃u(∀v(v  u) ∧ u ∈ x) или
∀u (∀v (v  u ) → u ∈ x )
14
Обозначения и сокращения
• Если ZF ⊨ ∀u∃!vΦ(u, v), то можно ввести
операцию φ(x): y ∈ φ(x) сокращение для
∃u(Φ(x, u) ∧ y ∈ u) или ∀u(Φ(x, u) → y ∈ u)
y = φ(x) ⇔ Φ(x,y)
• ZF ⊨ ∀u∃!s∀v(v ⊂ u ≡ v ∈ s)
P(x) = y ⇔ ∀v(v ⊂ x ≡ v ∈ y)
P(x) – множество подмножеств x
• ZF ⊨ ∀u, v∃!s∀w(w ∈ s ≡ (w = u ∨ w = v))
• {x, y} – (неупорядоченная) пара множеств x и y
{x} – обозначение для {x, x}
15
Обозначения и сокращения
• Un(x) = {y|∃u(y ∈ u ∧ u ∈ x)} – объединение множества x
З. Существование и единственность:
Аксиома замены при Φ(t, x, y) = y ∈ x
ZF ⊨ ∀x∃s∀y(∃u(u ∈ x ∧ y ∈ u) ≡ y ∈ s)
• x ∪ y – сокращение для Un({x, y})
x∩y–пересечение: {z|z∈x∧z∈y}
• x\y–разность: {z|z∈x∧z y}
• < x, y > – упорядоченная пара: {{x}, {x, y}}
<x,y>=<x′,y′ >⇔x=x′ ∧y=y′
• Упорядоченная тройка < x, y, z >=< x, < y, z >>
16
Обозначения и сокращения
• (Декартово) произведение
x×y = {z|∃u,v(u ∈ x∧v ∈ y∧z =< u,v >)}
• Задача. a ∈ x×y ⇒ a ∈ P(P(x∪y)) , произведение множество
• Функция f (Func(f)): множество пар < a, b >
∀u, v, w (< u, v >∈ f ∧ < u, w >∈ f → v = w)
• Область определения (Dom(f)) = {z|∃u(< z, u >∈ f)}
Мнаожество значений (Ra(f)) = {z|∃u(< u, z >∈ f)}
• Задача. Почему область определения и множество
значений функции – множества?
• f(x) = y ⇔< x, y >∈ f
17
Множество ω
• 0;1;2;... = ∅;{∅};{∅,{∅}};...
• Следующий элемент: S(x) = x ∪ {x}
Аксиома бесконечности: ∃s(∃u(u ∈ s ∧ ∀v(v  u))∧
∧∀u(u ∈ s → ∃v(v ∈ s ∧ ∀w(w ∈ v ≡ (w ∈ u ∨ w = u)))))
• Иначе: ∃s(∅ ∈ s ∧ ∀u(u ∈ s → S(u) ∈ s))
• О. s – ”бес-конечное” множество ⇔ ∅ ∈ s ∧ ∀u(u ∈ s → S(u) ∈ s)
Задача. Пересечение ”бес-конечных” множеств ”бес-конечно”
• ω = {x|∀s((∅ ∈ s ∧ ∀u(u ∈ s → S(u) ∈ s)) → x ∈ s)}
ω – множество , единственно и ”бес-конечно”.
• b – ”бес-конечно” ⇒ ω ⊂ b
18
Множество ω
• Правило индукции: ZF ⊨ ∀u(u ⊂ ω ∧ u ≠ ∅ →
→ (0 ∈ u ∨ ∃v(v ∈ ω ∧ v  u ∧ S(v) ∈ u)))
Д-во. Пусть для какого-то a ⊂ ω это не так;
возьмем b = ω \ a; b – множество.
0 ∈ b ∧ ∀u(u ∈ b → S(u) ∈ b) ⇒
b – ”бес-конечно” ⇒ ω⊂b ⇒ a = ∅
• k,l,m,n···обозначают элементы ω
n < m ⇔ n ∈ m; S(m) = m ∪ {m}
• Задачи.
• (0) n = 0 ∨ n = S(m)
Решение. От противного.
• {n ∈ ω|n ≠ 0 ∧ ∀v(v ∈ ω → n ≠ S(v))} = a – множество, a ⊂ ω.
Правило индукции:
0 ∈ a ∨ ∃v(v ∈ ω ∧ v  a ∧ S(v) ∈ a). Противоречие
19
Множество ω
Обозначение: n < m ⇔ n ∈ m;
Обозначение: x ̸⊂ y надо понимать как ¬(x ⊂ v)
Задачи.
(1) n < S(n) (определение)
(2) b ∈ n → b ⊂ n
Решение. {n ∈ ω|∃x(x ∈ n ∧ x ̸⊂ n)} = a;
0 a, m  a, S(m) ∈ a, b ∈ S(m), b ̸⊂ S(m)
(i) b = m. Противоречие.
(ii) b ∈ m ⇒ b ⊂ m ⊂ S(m). Противоречие.
(3)порядок транзитивен: n<m∧m<k→n<k из (2)
(4) ¬(n < n) (индукция)
(5) 0 < S(n) (индукция)
(6) n < m → m = S(n) ∨ S(n) < m (индукция по m)
(7)порядок линеен: n<m∨n=m∨m<n(индукция по ...)
20
Рекурсия
• (8) a ⊂ ω, a ≠ ∅ ⇒ ∃b(b ∈ a ∧ ∀c(c < b → c a))
Указание. a′ = {u ∈ ω|∃x(x ∈ a∧x ⩽ u)}
• Обозначения. x + 1 ⇔ S(x); x-1... [n, m] ⇔ {k|k ∈ ω, n ⩽ k ⩽ m}
• Сложение – функция Σ: ω × ω → ω
(0) Σ(< n, 0 >) = n
(1) Σ(< n, m + 1 >) = Σ(< n, m >) + 1
Докажем, что существует и единственна функция,
удовлетворяющая (0) и (1)
• k ∈ ω корректен ⇔ ∃Σk(Σk : ω × [0, k] → ω). Пусть m —
наименьший некорректный элемент.
• Σm =Σm−1 ∪{<n,m,Σm−1(n,m−1)+1>|n∈ω}. Противоречие.
Единственность Σk.
k<k′ ⇒Σk ⊂Σk′.
• Σ = Un{Σk|k ∈ ω} – функция (аксиома замены).
21
n + m = Σ(< n, m >)
Числа
• Умножение Π: ω × ω → ω
(0) Π(< n, 0 >) = 0
(1) Π(< n, m + 1 >) = Π(< n, m >) + n
• Целые числа ZM ={<0,n>|n∈ω}∪{<1,n>|n∈ω\{0}}
• Рациональные числа
QM = {a ⊂ ZM × ω \ {0}|a – класс эквивалентности}
– <x1,x2 >∼<y1,y2 >⇔x1y2 =x2y1
• Действительные числа
RM ={<a,b>|a⊂QM,b⊂QM,<a,b> – дедекиндово
сечение}
22