Моделирование наномасштабных материалов

Моделирование наномасштабных материалов
Лекция 12: Полуэмпирические подходы к моделированию
физических свойств наноматериалов. Металлы
и полупроводники
Авторы: Руденко Александр Николаевич
Мазуренко Владимир Владимирович
Мазуренко Владимир Гаврилович
Цель лекции
Получить представление об основных методах
описания
межатомного
взаимодействия
в
наноматериалах
на
основе
металлов
и
полупроводников, и вычислении физических свойств
на основе используемых моделей
Компетенции
способность
применять
на
практике
базовые
общепрофессиональные
знания
теории
и
методов
математических и физических исследований, направленных на
решение
инновационных
инженерных,
технических,
экономических,
экологических,
информационных,
технологических задач

знание и понимание теории и методов применения
математики и информатики для построения качественных и
количественных моделей в науке, технике и технологиях

Содержание лекции
Метод «погруженного» атома (EAM)
 Физический смысл модели EAM
 Схема расчетного метода в модели EAM
 Недостатки модели EAM
 Трехчастичные потенциалы для полупроводников
 Потенциал Стиллинджера-Вебера
 Потенциал Терсова
 Недостатки трехчастичных потенциалов

Многочастичные потенциалы: метод
“погруженного” атома (EAM*)
Исходные положения: Ковалентные и металлические связи
определяются перекрытием электронных оболочек.
Задача: учесть зависимость энергии связи от числа связей,
которая, вообще говоря, нелинейна.
Решение: представить энергию, приходящуюся на атом как
E=f(число связей), где f – нелинейная функция.
энергия становится функционалом!
Как измерить «число связей»?: В методе «погруженного» атома
близость к данному атому остальных атомов оценивается
электронной плотностью на этом атоме.
* Embedded Atom Method
Атомные электронные плотности в
модели EAM
Электронная плотность в точке i:
Атомная одноэлектронная плотность, создаваемая атомом j
Модель EAM: выражение для энергии
Энергия «погружения»
Энергия парного взаимодействия
Парный потенциал, в принципе, может иметь произвольную форму;
обычно используются следующие:

Экранированный электростатический кулоновский потенциал

Потенциал в виде полинома n-порядка

Стандартные потенциалы типа Леннард-Джонса, Морзе и др.
Физический смысл модели EAM
Энергия связи (энергия погружения) обусловлена
электронной делокализацией, характерной для
металлов.

Атомы в металле, по мимо парного взаимодействия
друг с другом (например, электростатического
характера) взаимодействуют с электронным газом,
создаваемым другими атомами.

«Число связей» с делокализованными электронами
определяется электронной плотностью.

Электронная плотность может быть представлена
линейной суперпозицией одноэлектронных плотностей
(гипотеза).


Модель EAM является многочастичной!
Параметризация модели EAM: выбор модельных
функций F,V,f
Задача сложная и неоднозначная!
Исходя из квантово-механических
расчетов (редко)
Используя эмпирические данные
(наиболее часто)
Как правило:
F – из универсального уравнения состояния E=g(a)
V – в виде известных парных потенциалов
f – в виде быстроосциллирующей затухающей функции
Часто модельные параметры подгоняются под упругие постоянные второго и третьего
порядков!
Силы в модели EAM
Часть силы действующая на
атом, связанная с
электронной плотностью
Производная функции
«погружения» по
электронной плотности
Производная одноэлектронной плотности по
межатомному расстоянию
Схема расчетного алгоритма в модели EAM
Вычисление сил в модели EAM требует 2-х циклов
суммирования по атомам в элементарной ячейке!
Цикл 1:
(i) вычисление парных вкладов (потенциал и его
производная)
(ii) вычисление электронной плотности и ее производной
Цикл 2:
Расчет функции «погружения» и ее производной
Расчет сил и интегрирование уравнений движения
Из-за дополнительного расчета электронной плотности и функции «погружения»,
использование EAM модели приводит к замедлению расчетов в 2-3 раза по
сравнению с чистыми парными потенциалами!
Недостатки модели EAM
Сферические связи: трудности при описании ранних
переходных металлов и ковалентных кристаллов.
Неоднозначные потенциалы: некоторая часть полной
энергии может быть произвольно разделена между
парным потенциалом и функцией «погружения»
(линейная часть функции «погружения» эквивалентна
парному потенциалу)
Ограничения для сплавов: нет очевидного способа
нахождения модельных функций и параметров в случае
соединений.
Практическая применимость: кристаллические
соединения и поверхности, однако ограничивается лишь
ГЦК металлами и некоторыми ОЦК
Применение к наноматериалам: модель непригодна для
описания наночастиц малого диаметра, а также
многокомпонентных систем со сложной структурой
Потенциалы для полупроводников
Межатомное взаимодействие в полупроводниках
зачастую более сложное чем в металлах, например, у
кремния:
Наиболее стабильная фаза в отсутствии давления – структура
алмаза, с наименьшим координационным числом - 4.

При приложении давления возникает последовательность
новых структур с большими координационными числами (ПК,
ГЦК, ...)

В жидкой фазе – металл, причем более плотный чем твердая
фаза (аномалия)

=> конструирование потенциала – не тривиальная задача,
но решаемая в рамках трехчастичных потенциалов!
Трехчастичные потенциалы для
полупроводников
Позволяют решить проблему направленных связей (ковалентные кристаллы)!
Пример: Кремний
Тройка координат
может
быть заменена набором
Возможный выбор
трехчастичного члена
Важно: для оценки трехчастичной энергии теперь необходимо N3 операций!
Потенциал Стиллинджера-Веббера
Одна из первых попыток моделирования полупроводников:
двухчастичный
член
трехчастичный член
некоторые затухающие функции
Потенциал дает реалистичное описание для тетрагональных ковалентных
структур (например для кремния)
Но! Неприменим для других структур! (проблема переносимости)
Потенциал Терсова
Основание: концепция порядка связей – сила связи между атомами не постоянна,
а зависит от локального окружения.
отталкивание
притяжение
не константа! А параметр
порядка связи.
- функция координационного параметра связи (G)
Основная идея: связь ij ослабляется присутствием другой связи ik.
Более широкий спектр применения, чем потенциал Стиллинджера-Вебера,
в частности, применим для описания свойств полупроводниковых
наноматериалов
Недостатки трехчастичных моделей
Плохая переносимость потенциалов (применимы в
основном только к тем структурам, для которых были
построены)

Большое число модельных функций и подгоночных
параметров в потенциалах Терсова – трудность
параметризации

Относительно большая вычислительная трудоемкость
(N3)


Неприменимы для описания металлов
Литература
Основные источники

Daw M.S., Baskes M.I. // Phys. Rev. B -V. 29, -N12, -p. 7983, -1984.

Chantasiriwan S., Milstein F. // Phys. Rev. B -V. 58, -N10, -p.5996, -1998.
Гулл Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. -Москва:
Мир, 1990, в 2 ч.

Дополнительные источники
Зализняк В.Е. Основы вычислительной физики. -Техносфера -2008,
ч.2, -94 с.
Allen M.P., Tildesley D.J. Computer simulation of liquids // -Oxford: Clarendon
Press, 1991. -385 pp.

Харрисон У. Теория межатомного взаимодействия в твердых телах
// УФН, N10, с. 7210, -1972
