Презентация PPT (4,79Мб)

Синтез изображений
методом
излучательности
Алексей Игнатенко
Лекция 6
18 мая 2009
Излучательность = Энергетическая
светимость



Полная энергия, покидающая поверхность
единичной площади
Обозначение: B (=М)
Единицы измерения: Вт/м2
d
M
dS
Трассировка и Излучательность

Проблема трассировки лучей – для
вычисления глобального освещения
нужно трассировать большое количество
лучей


Вычислительно сложная задача
Основная идея излучательности –
сохранение светимости поверхностей по
мере продвижения света от источников

Та же идея, что в трассировке фотонов...
Трассировка
Излучательность
Предположения

Алгоритмы излучательности решают уравнение
глобального освещения при наборе
ограничивающих предположений:



Все поверхности ламбертовы (идеально диффузные)
Поверхности могут быть поделены на участки (патчи)
константной излучательности
Излучательность рассчитывается только на
поверхностях


Расчет производится для замкнутой системы


Требуются дополнительные действия по построению
изображения
Энергия не пропадает
Эти предположения позволяют сделать
уравнение глобального освещения линейным!
Излучательность диффузных
поверхностей

Излучательность для диффузных
поверхностей
Bx   Lo (x) cosdo  Lo x


Диффузная BRDF в терминах
коэффициента отражения поверхности:

f x  

Перенос энергии

Упрощение формулы глобальной
освещенности дает:
Lx, o   Le x, o    f x, o ,  Lx,   cos d

 x 
Lx   L x   
Lx,   cos d
e



Bx   E x    x  Lx,   cos d


По прежнему есть интеграл для
вычисления освещенности...
Меняем область определения

Преобразуем интеграл по телесному углу
в интеграл по всем точкам поверхностей
сцены d  cos  dA
r2
θ  угол между нормалями площадок
A - дифференци альная площадь
1 если x и y взаимно видны
V x, y   
в противном случае
0
cos  cos  
Bx   E x    x  B(y )
V x, y dA
2
yS
r
Дискретизация геометрии сцены




Предположим, что
геометрия разбита на N
непересекающихся
поверхностей (patches) Pi,
i=1..N
Площадь Ai
Предположим, что
излучательность
константна на каждом
Положим:
1
Bi 
Ai

xPi
B (x)dx
Дискретная запись

Заменяем интеграл по точках геометрии
на сумму по поверхностям
cos cos 
Bx   E x    hd x   B(y )
V x, y dy
2
yPj
r
j 1
N
1
Ai
N


cos cos 
Bx dx    E x    hd x   B(y )
V x, y dy dx
2

yPj
r
j 1
xPi
xPi 

N
1
cos cos 
Bi  Ei   i  B j
V x, y dydx
2


Ai xPi yPj
r
j 1
Форм-Фактор
1
Fij 
Ai
cos cos 
xPi yPj r 2 V ( x, y )dydx
Fij - часть полной
энергии, покинувшей
площадку Pi и
полученной
площадкой Pj
Площадка j
Площадка i
Форм-фактор между
дифференциальными площадками
Разностная площадь площадок I, j
Угол между Normali и r
Угол между Normalj и r
FdAj dA j 
cos  i cos  j
r
Площадка j
2
j
i
Вектор из dAi в dAj
dAi
Площадка i
r
dA j
Полный форм-фактор
FdAj dA j 
1
Fij 
Ai

Ai A j
cos  i cos  j
r
2
cos  i cos  j
r
2
dAi dA j
Surface j
j
i
dAi
Surface i
r
dA j
Свойства форм-фактора




Зависит только от геометрии
Обратимость: AiFij=AjFji
Аддитивность: Fi(jk)=Fij +Fik
Сумма равна единице

Вся энергия, покидающая площадку, должна
куда-то придти
i,  j 1 Fij  1
N
Уравнение для дискретной
излучательности
N
Bi  Ei  i  B j Fij
j 1


Это СЛАУ!
B  E  BF
E  ΜB где
M  (I  F )
Размеры M : NxN


Большая система 
Но матрица M имеет некоторые особенности,
упрощающие вычисление
Уравнение излучательности
Bi  Ei  i  B j Fij
Form Factor of surface j
relative to surface i
Radiosity of surface i
Emissivity of surface i
Radiosity of surface j
Reflectivity of surface i
Surface j
Surface i
Излучательность
Разбиваем геометрию на
площадки
Вычисляем формфакторы
Решаем СЛАУ
Реконструция и
показ решения
Излучательность
Разбиваем геометрию на
площадки
Вычисляем формфакторы
Решаем СЛАУ
Реконструция и
показ решения
Два интеграла для вычисления
1
Fij 
Ai

Ai A j
Площадной
по i
cos  i cos  j
r
2
Vij dA j dAi
Площадка j
Площадной
по j
j
i
dAi
Площадка i
r
dA j
Аналогия Нуссельта

Прямое вычисление форм-фактора сложно
даже для простых поверхностей!

Нуссельт разработал геометрический аналог,
который позволяет простое и точное
вычисление форм фактора между
поверхностью и точкой на другой
поверхности
Численное интегрирование:
аналогия Нуссельта
Это дает форм-фактор FdAiAj
Aj
dAi
Аналогия Нуссельта
1. Project Aj along its normal:
Aj cos qj
2. Project result on sphere:
Aj cos qj / r2
3. Project result on unit circle:
Aj cos qj cos qi /r2
4. Divide by unit circle area:
площадка Aj
Aj cos qj cos qi / pr2
5. Integrate for all points on Aj:
r
qj
FdAi A j 

Aj
cos i cos j
r
2
qi
Сферическая проекция Aj cos qj/r2
Вторая проекция Aj cos qj cos qi /r2
Единичная площадь p
Vij dA j
Метод 1: Полукуб

Аппроксимация аналога Нуссельта между
точкой dAi и полигоном Aj
Полигональная
площадь (Aj)
Дифференциальная
площадь (dAi)
Полукуб

Для удобства используется куб высотой 1
и верхней гранью 2x2. Боковые грани 1x2

Куб разбивается на ячейки (например,
512x512 для верхней грани)
Пример работы полукуба
Метод полукуба
1.
2.
3.
4.
Проекция всех площадок
сцены на пять граней куба
Z буфер для вычисления
видимости
Суммирование дельта
форм-факторов ячеек
полукуба покрытых
объектами
Это дает форм-фактор
основания полукуба ко
всем площадками
Метод полукуба
Достоинства
+ Первый практический метод
+ Может использовать аппаратуру
+ Быстрое вычисления большого количества
форм-факторов
Недостатки
- Вычисляет дифференциально-конечный
форм-фактор
- Алиасинг
- Ошибка видимости
- Предположение об удаленности объектов
- Высокая сложность вычисления одного
форм-фактора
Метод полукуба: алиасинг
Метод 2: Площадная
дискретизация
1. Делим Aj на малые части dAj
2. Для всех dAj
луч dAj-dAj для поиска Vij
Если видимо
вычислить FdAidAj
FdAi dAj 
cos  i cos  j
r
суммируем
FdAiAj += FdAidAj
3.
Имеем FdAiAj
2
dAj
луч
Vij dA j
dAi
Aj
Излучательность
Разбиваем геометрию на
площадки
Вычисляем формфакторы
Решаем СЛАУ
Реконструция и
показ решения
Матрица излучательности
Bi
n
Bi  Ei  i  Fij B j
j 1
n
Bi  i  Fij B j  Ei
j 1
1  1 F11  1 F12
 F
1   2 F22
2 21

 


   n Fn1   n Fn 2
 1 F1n   B1   E1 
  2 F2 n   B2   E2 

     


   
 1   n Fnn   Bn   En 


Ei
Матрица излучательности

«Полноматричное» решение вычисляет формфакторы всех пар площадок и затем формирует
СЛАУ
1  1 F11  1 F12
 F
1   2 F22
2 21

 


   n Fn1   n Fn 2


 1 F1n   B1   E1 
  2 F2 n   B2   E2 

     


   
 1   n Fnn   Bn   En 


СЛАУ решается для всех Bi
Излучение (luminance) найти легко – поверхности
диффузные
Решение [F][B] = [E]

Прямые методы: O(n3)

Гауссово исключение


Goral, Torrance, Greenberg, Battaile, 1984
Итеративные методы: O(n2)
Сохранение энергии
¨диагонально-доминантная¨  должна сходиться

Gauss-Seidel, Jacobi: «Сборка»



Nishita, Nakamae, 1985
Cohen, Greenberg, 1985
Southwell: «Бросание»

Cohen, Chen, Wallace, Greenberg, 1988
«Сборка»

Свет, покидающий
площадку,
определяется с
помощью сбора
света с окружения
n
Bi  Ei  i  B j Fij
j 1
Bi due to B j  i B j Fij
Bi  Ei   i Fij B j
n
j 1
«Сборка»

Сборка света через
полукуб позволяет
обновить один патч
Bi  Ei   i Fij B j
n
j 1
«Сборка»
«Бросание»

«Бросание» света
через полукуб
позволяет
одновременно
обновить значения
излучательности для
всего окружения
Для всех j
B j  B j  Bi  j E ji 
where
F ji 
Fij Ai
Aj
«Бросание»
Прогрессивная излучательность
Размеры площадок: Точность
Размеры площадок: Артефакты
Увеличение разрешения
Адаптивное разрешение
Излучательность
Разбиваем геометрию на
площадки
Вычисляем формфакторы
Решаем СЛАУ
Реконструция и
показ решения
Результаты работы метода
излучательности
Результаты работы метода
излучательности

Cornell box
Cindy M. Goral, Kenneth E.
Torrance, and Donald P.
Greenberg for the 1984
paper Modeling the
interaction of Light Between
Diffuse Surfaces, Computer
Graphics (SIGGRAPH '84
Proceedings), Vol. 18, No. 3,
July 1984, pp. 213-222.
The Cornell Box

Michael F. Cohen and
Donald P. Greenberg for the
1985 paper The Hemi-Cube,
A Radiosity Solution for
Complex Environments, Vol.
19, No. 3, July 1985, pp. 3140.

The hemi-cube