j - Строительная механика

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Часть ii
СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ
СИСТЕМЫ
Расчёт деформируемых систем
методом перемещений
1
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Метод перемещений –
метод расчёта деформируемых систем,
в котором за основные неизвестные принимаются
характерные перемещения,
после определения которых все перемещения
и силовые факторы
в рассчитываемой системе могут быть найдены
стандартными процедурами (поэлементно).
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Fy,t
y
Mt
t
Fx,t F
Узловые
нагрузки
q
Fy,t+1
j
Fx,t +1
t +1
x
Mt +1
Узловые
нагрузки
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Fy,t
y
Mt
Fx,t
t
F
Узловые
нагрузки
q
F
j
Fy,t+1
Dt
t +1
x
Fx,t +1
Mt +1
Узловые
нагрузки
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Fy,t
y
Mt
Fx,t
t
F
Узловые
нагрузки
q
F
Dt
j
Fy,t+1
T
Смещения
связей
x
t +1
Fx,t +1
Mt +1
Узловые
нагрузки
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Mt
y
Mbj
Fx,t
t
F
Узловые
нагрузки
Dt
Смещения
связей
Вектор перемещений
концевых сечений
j - го элемента: θ
Nbj Q yj
bj
Fy,t
bj
ubj
vbj
qbj
F
q
F
j
T
S
с
Qbj
x N bj
M bj
bj
Вариант представления
концевых усилий:  M bj 
 Q bj 
 S bj   N bj 
Sj  

M
S
ej
ej
  

Q
 ej 
 N ej 
j
Вектор усилий
в концевых сечениях
(концевых усилий)
j - го элемента:  M bj 
Fy,t+1
yj
Mt +1
Узловые
нагрузки
F
q
j
vej
uej
 Q bj 
xj
S bj   N bj  Q

Sj  
ej Mej q

ej
S
M
ej
ej
  
N
ej
Q ej 
N 
Для линейно
 ej 
деформируемых
систем ( Л Д С ):
Правила знаков
усилий
S j  S j дляиконцевых
перемещений:
Fx,t +1
t +1
 bj 
vbj 
Δ
u
Δ j  Δ bj   θ bj 
 ej   ej 
vej 
q
uej 
ej
положительными считаются
M , q – по ходу часовой стрелки;
M ej
Qej
ej
xj
N ej
Q , v – сдвиг по часовой стрелке;
N , u – по внешней нормали
к сечению
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Nbj Q yj
bj
Mbj
vbj
bj
qbj
ubj
F
Mbj,F+t bj
F
Dt
q
q
Dt
Смещения
связей
Qbj,F+t
Nbj,F+t
Воздействия, непосредственно
приложенные к элементу –
силовые и температурные
j
j
S
vej
=
uej
ej
Qej M q
ej
ej
Nej
Nbj,D
Mbj,D
bj
xj
ubj
Концевые усилия:
Стандартные
(табличные)
Mej,F+t
F+T
yj
S j ,Δ  K j  Δ j
ej
Nej,F+t
Qej,F+t
Qbj,D
vbj
+
qbj
j
S j  S j ,F  t  S j ,Δ  S j ,F  S j ,t  S j ,Δ
Матрица жёсткости элемента –
это матрица, выражающая линейную
зависимость его концевых усилий SD
от перемещений D концевых сечений.
Внеузловые нагрузки
j - го элемента
Кинематические
воздействия –
смещения
концевых сечений
D
( c  Δ ) vej
Qej,D
uej
ej
xj
Mej,D qej
Дискретная (матричная)
Nej,D
запись закона Гука
( S = C*D )
Kj – матрица жёсткости j - го элемента (стандартная)
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Примеры стандартных (табличных) данных метода перемещений
EIj , EAj
ej
bj
lj
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Решение – методом
начальных параметров
или методом сил
Примеры стандартных (табличных) данных метода перемещений
F Fy
 M bj,Δ 
θ bj 
EIj , EAj
 k11, j k12, j  k16, j  vbj 
 Q bj,Δ 
k 21, j k 22, j  k 26, j  ubj 
 N bj,Δ 
ej
bj
S j ,Δ  
 K j Δ j  

Fx
xl + xr= 1
M ej,Δ 
     θ ej 
xl lj
xr lj
k
 v 
Q 
k

k
ej,Δ
l
61,
j
62,
j
66,
j
j

  ej 


2
ξ l ξ 2r Fy l j
ξ l ξ r Fy l j
uej 
 N ej,Δ 
kif,j = kfi,j
hj
Mj,F
2 2
(1  2ξ l )ξ 2r Fy 2ξ l ξ r Fy l j
ξ r Fx
ξ (1  2ξ r )Fy
2
l
Nj,F
ξ l Fx
Dtnr , Dt0
EIj , EAj
ej
bj
α j EI j
Δt nr
hj
α j EA j
 Δt 0
lj
Qj,F
lj
Mj,t
Nj,t
M bj,Δ  k11, j θbj  k12 , j vbj  k13 , j ubj  k14 , j θej  k15 , j vej  k16 , j uej
......................................
N ej,Δ  k61, j θbj  k62 , j vbj  k63 , j ubj  k64 , j θej  k65 , j vej  k66 , j uej
bj EIj , EAj
lj
ej
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Решение – методом
начальных параметров
или методом сил
Примеры стандартных (табличных) данных метода перемещений
F Fy
 M bj,Δ 
θ bj 
 k11, j k12, j  k16, j  vbj 
EIj , EAj
Qbj,Δ 
k
 N bj,Δ 
k 22, j  k 26, j  ubj 
ej
bj
21,
j
S j ,Δ   M   K j  Δ j  
Fx
  θ 
xl + xr= 1
ej,Δ




xl lj
xr lj

 vej 
Q 
ej,Δ
lj
k61, j k62, j  k66, j   ej 
2


ξ l ξ 2r Fy l j
ξ l ξ r Fy l j
 N ej,Δ 
uej 
kif,j = kfi,j
hj
Mj,F
2 2
(1  2ξ l )ξ 2r Fy 2ξ l ξ r Fy l j
ξ r Fx
ξ (1  2ξ r )Fy
2
l
α j EA j
 Δt 0
lj
qbj = 1
EIj , EAj
ej
bj
α j EI j
 Δt nr
hj
j
Nj,F
ξ l Fx
Dtnr , Dt0
Qj,F
M bj,Δ  k11, j θbj  k12 , j vbj  k13 , j ubj  k14 , j θej  k15 , j vej  k16 , j uej
......................................
N ej,Δ  k61, j θbj  k62 , j vbj  k63 , j ubj  k64 , j θej  k65 , j vej  k66 , j uej
2 EI j /l j
b EI , EA ej
lj
j
lj
4 EI j /l j
bj
vbj = 1
Mj,t
j
bj
Nj,t
ubj = 1
ej
EAj
ej
6 EI j /l 2j
EA j /l j
k11, j  4 EI j /l j
k 21, j  k51, j  6 EI j /l 2j
k31, j  k61, j  0
k41, j  2 EI j /l j
k12 , j  k42 , j  6 EI j /l 2j
k22 , j  k52 , j 
12 EI j /l 3j
6 EI j /l 2j
k32 , j  k62 , j  0
k13 , j  k23 , j  k43 , j  k53 , j  0
k 33 , j  k63 , j  EAj /l j
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Структура матрицы жёсткости элемента
 k11, j
k 21, j
k
K j   31, j
k41, j
k51, j
k61, j

k12, j
k 22, j
k 32, j
k42, j
k52, j
k62, j
k13, j
k 23, j
k 33, j
k43, j
k53, j
k63, j
k14, j
k 24, j
k 34, j
k44, j
k54, j
k64, j
k15, j
k 25, j
k 35, j
k45, j
k55, j
k65, j
k16, j 
k 26, j 
k 36, j 

k46, j 
k56, j 
k66, j 
От qbj = 1
От vbj = 1
От ubj = 1
От qej = 1
От vej = 1
От uej = 1
при растяжении (сжатии) и изгибе в одной плоскости
 4 EI j /l j
 6 EI /l 2
j j

0

 2 EI j /l j
 6 EI j /l 2j

0

 6 EI j /l 2j
0
2 EI j /l j
12 EI j /l 3j
0
 6 EI j /l 2j
0
EAj /l j
0
 6 EI j /l 2j
0
4 EI j /l j
12 EI j /l 3j
0
 6 EI j /l 2j
0
EAj /l j
0
M bj,...
Q bj,...
N bj,...
M ej,... =
Q ej,...
N ej,...
 6 EI j /l 2j
0 
12 EI j /l 3j
0 

0
EAj /l j 
 6 EI j /l 2j
0 
12 EI j /l 3j
0 

0
EAj /l j 
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Векторы концевых усилий и перемещений и матрица жёсткости
прямолинейного пространственно деформируемого стержня постоянного сечения
Sj = [ Mz, bj My, bj Mt, bj Qz, bj Qy, bj Nbj Mz, ej My, ej Mt, ej Qz, ej Qy, ej Nej ]т
Dj = [ qz, bj qy, bj qt, bj vz, bj vy, bj ubj qz, ej qy, ej qt, ej vz, ej vy, ej uej ]т
 4 iz
0  6i z l 1 0  M z,bj,...
0
0
2 iz
0  6 i z l 1 0
0
0
 0
0  M y, bj,...
0  6i y l 1 0
2iy
0
0
0  6 i y l 1 0
4iy
M

1
1
0
0
0
l
GI
0
0
0
0
0
l
GI
0
0
t
t
 t,bj,...

2
1
2
1
0  Qz,bj,...
0
0 12 i y l
0 6 i yl
0
0
0 12 i y l
 0 6 i y l
 6 i z l 1 0
0 12 i z l 2 0  Q y, bj,...
0
0 12 i z l 2 0  6 i z l 1 0
0
 0
1  N
1
EAl
0
0
0
0
0
EAl
0
0
0
0
K j 
 bj,...
1
1
0  M z,ej,...
0  6 iz l
0
0
4 iz
0
0  6 iz l
0
0
 2 iz
0  M y, ej,...
0  6 i y l 1 0
4iy
0
0
0  6 i y l 1 0
2iy
 0
 0
0  M t,ej,...
0
0 GI t l 1 0
0
0
0
0 GI t l 1 0
 0  6 i l 1 0 12 i l 2
0  Qz,bj,...
0
0  6 i y l 1 0 12 i y l 2
0
0
y
y


2
1
2
1
0
l
i
12
0
0
0
l
i
6

0
l
i
12
0
0
0
l
i
6

z
z
z
 Q y, bj,...
 z
 0
0 EAl 1  N ej,...
0
0
0
0 EAl 1 0
0
0
0
iz = EIz,j / lj
– погонные изгибные жёсткости стержня в главных плоскостях инерции
iy = EIy,j / lj
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Определение внутренних усилий и перемещений в произвольном сечении элемента
Nbj Q yj
bj
Mbj
bj
ubj
vbj
qbj
F
q
j
vej
uej
ej
Qej M q
ej
ej
Nej
xj
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Определение внутренних усилий и перемещений в произвольном сечении элемента
Nbj Q yj
bj
Mbj
bj
ubj
vbj
qbj
F
q
j
vej
uej
ej
Qej M q
ej
ej
Nej
xj
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Определение внутренних усилий и перемещений в произвольном сечении элемента
Nbj Q yj
bj
Mbj
bj
ubj
vbj
qbj
F
q
j
Усилия в сечении
M(xj)
N(xj)
Q(xj)
q (xj)
 M ( x j )
S ( x j )   Q( x j )  – из условий равновесия
отсечённой части элемента
 N ( x j ) 
xj
Перемещения сечения
q( x j )
D ( x j )  v( x j ) – методом начальных
параметров или др.
u( x j )
Последовательность процедур:
S(xj)
D(xj)
Sj = Sj,F + Sj,t + Kj * Dj
Dj
– стандартные
?
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
Определение внутренних усилий и перемещений в произвольном сечении элемента
Перемещения узлов
Fy,t
Nbj Q yj
y
bj
Mt
θ t 
θ t 1 
Mbj
v
bj
bj
Fx,t
Z t  vt  Z t 1  vt 1 
t
u 
vt
u 
qt
t
F
q

 t 1 
F
bj
ubj
q
ut
q u
j
Усилия в сечении
bj
M(xj)
N(xj)
Q(xj)
S
q (xj)
 M ( x j )
S ( x j )   Q( x j )  – из условий равновесия
отсечённой части элемента
 N ( x j ) 
Перемещения сечения
?
SSj == SSj,F ++ SSj,t ++ KKj **DDj
j
j,F
j,t
j
j
Dj
– стандартные
Fy,t+1
vt+1
(<0)
t +1
Fx,t +1
Mt +1
q( x j )
D ( x j )  v( x j ) – методом начальных
параметров или др.
u( x j )
S(xj) D
j
D(xj)
j
xj
0
Последовательность процедур:
qt+1
t+1
?
x
Связь между перемещениями узлов
и концевых сечений элемента
qbj = qt ; vbj = vt * cos bj + ut* sin bj
ubj = vt * sin bj – ut* cos bj
1 0
0 
S(xj)


D(xj) Dbj = abj * Zt abj   0 cos β j sin β j 
 0 sin β j  cos β j 
Вывод:
?=Z
стандартная матрица
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Идея метода перемещений
За основные неизвестные в методе перемещений принимаются
независимые компоненты линейных и угловых перемещений
расчётных узлов системы.
Расчётными узлами являются:
1) места соединения двух и более элементов
или точки перелома оси ломаного стержня:
2) точки изменения жёсткости сечения стержня:
EI1 EI2
u
3) опорные узлы с неизвестными компонентами
перемещений:
q
4) дополнительно – любые точки системы:
C S 1  const
C S 2  const
v
q
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Деформируемая система, у расчётных узлов которой есть неизвестные
угловые и/или линейные перемещения, не находящиеся из условий
совместности деформаций ( перемещений ) и кинематических граничных
условий, называется кинематически неопределимой системой.
u2
u1
2
v1
1
v2
2
lj
q2
u2 = u1
u1
При l *j  l j
1
q2
l *j
Система, у которой все угловые и линейные перемещения расчётных узлов
известны ( заданы либо равны нулю ) или могут быть найдены из условий
совместности деформаций ( перемещений ) и кинематических граничных
условий, называется кинематически определимой системой.
v1 = D(1)
EI p  
q1 = D(1) / l
1
l
D(3)
D(1)
D(2) заданы
Все
перемещения
узлов известны
( v1 и q 1
находятся
из условий
совместности
перемещений )
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Степень кинематической неопределимости ( nk ) – суммарное число
независимых углов поворота и линейных перемещений расчётных узлов системы.
nk = n q + nD
u1
u2
степень линейной подвижности расчётных
узлов
степень угловой подвижности
v2
v1
1
q1
q2
2
u4
u3
4
v3
3
q3
q4
v4
nq = 4
nD = 8
nk = 12
l *j  l j дает:
v1 = v2 = v3 = v4 = 0
nq = 4
u1 = u2 ; u3 = u4
nD = 2
Применение гипотезы
nk = 6
В nж.у. учитываются неопорные узлы с припайками, а также
узлы ( в т.ч. опорные ) с упругоподатливыми угловым связями.
 nж.у. – для плоской системы
nθ  
3nж.у.– для пространственной системы
( ж.у. – жёсткие узлы )
nж.у. = 4
nж.у. = 2
Для определения
nD – шарнирная система
Шарнирная система получается из заданной системы
путём введения цилиндрических шарниров ( в пространственной
системе – шаровых шарниров ) во все жёсткие узлы, включая
опорные защемления, и продольных поступательных шарниров
в стержни, для которых требуется учитывать удлинения
( укорочения ) при их растяжении ( сжатии ), а также удалением
всех упругих связей ( линейных и угловых ).
nD = nд.c. ( = Wш.с. , если Ш.С. – без лишних связей )
( д.с. – дополнительные связи )
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Степень кинематической неопределимости ( nk ) – суммарное число
независимых углов поворота и линейных перемещений расчётных узлов системы.
nk = n q + nD
u1
u2
степень линейной подвижности расчётных
узлов
степень угловой подвижности
v2
v1
1
q1
q2
2
u4
u3
4
v3
q3
3
q4
v4
nq = 4
nD = 8
nk = 12
l *j  l j дает:
v1 = v2 = v3 = v4 = 0
nq = 4
u1 = u2 ; u3 = u4
nD = 2
Применение гипотезы
nk = 6
В nж.у. учитываются неопорные узлы с припайками, а также
узлы ( в т.ч. опорные ) с упругоподатливыми угловым связями.
 nж.у. – для плоской системы
nθ  
3nж.у.– для пространственной системы
nд.с. = 2
При l *j  l j
Для определения
nD – шарнирная система
Шарнирная система получается из заданной системы
путём введения цилиндрических шарниров ( в пространственной
системе – шаровых шарниров ) во все жёсткие узлы, включая
опорные защемления, и продольных поступательных шарниров
в стержни, для которых требуется учитывать удлинения
( укорочения ) при их растяжении ( сжатии ), а также удалением
всех упругих связей ( линейных и угловых ).
nD = nд.c. ( = Wш.с. , если Ш.С. – без лишних связей )
nD = 2
( д.с. – дополнительные связи )
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Степень кинематической неопределимости ( nk ) – суммарное число
независимых углов поворота и линейных перемещений расчётных узлов системы.
nk = n q + nD
u1
u2
степень линейной подвижности расчётных
узлов
степень угловой подвижности
v2
v1
q2
1
2
u4
u3
4
v3
q1
q3
3
С учётом
продольных
деформаций
стержней
=
=
=
=
nk = 12
l *j  l j дает:
v1 = v2 = v3 = v4 = 0
nq = 4
u1 = u2 ; u3 = u4
nD = 2
Применение гипотезы
Для определения
nд.с. = 8
=
=
q4
v4
nq = 4
nD = 8
nk = 6
nD – шарнирная система
Шарнирная система получается из заданной системы
путём введения цилиндрических шарниров ( в пространственной
системе – шаровых шарниров ) во все жёсткие узлы, включая
опорные защемления, и продольных поступательных шарниров
в стержни, для которых требуется учитывать удлинения
( укорочения ) при их растяжении ( сжатии ), а также удалением
всех упругих связей ( линейных и угловых ).
nD = nд.c. ( = Wш.с. , если Ш.С. – без лишних связей )
nD = 8
( д.с. – дополнительные связи )
РАСЧЁТ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Основная система метода перемещений
– это, как правило, кинематически определимая система,
получаемая из заданной деформируемой системы
путём введения в расчётные узлы минимально необходимых угловых
и линейных связей по направлениям перемещений, принимаемых за
основные неизвестные.
ОСМП = РДC + ДСРУ + Z
Угловая
связь
Шарнирная система
Линейная
связь
EA
nс = 5
nD = 5
nk = 11
EA
nж.у. = 6
Z1 Z2
ОСМП Z3
Z4
Z11
Z9
Z7
EA
Z8
Z5
Z6
Z10
Контрольные вопросы
( в скобках даны номера слайдов, в которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 23» )
1. Какой метод расчёта деформируемых систем называется методом
перемещений? ( 2 )
2. Что принимается за основные неизвестные в методе перемещений? ( 17 )
Как они обозначаются? ( 22 )
3. Признаки расчетных узлов системы. ( 17 )
4. Что такое кинематически неопределимая система (КНС)? ( 18 )
5. Какая система называется кинематически определимой? ( 18 )
6. Что такое степень кинематической неопределимости (nк)? ( 19 )
7. Из чего складывается nк? ( 19 )
8. По каким формулам можно вычислять nк для плоских стержневых систем?
Для пространственных систем? Чему равны nq и nD? ( 19 )
9. Что такое шарнирная система, как она получается и для чего используется? ( 19 )
10. Как при формировании шарнирной системы учитываются элементы, удлинениями
которых при растяжении (сжатии) нельзя пренебрегать? ( 19 )
11. Какую рабочую гипотезу вводят в МП для стержней, работающих преимущественно
на изгиб, и каково следствие применения этой гипотезы (влияние на количество
основных неизвестных)? ( 18 ) , ( 20 – 21 )
12. Идея метода перемещений. ( 15 – 16 ) Как вычисляются усилия в концевых сечениях
стержней через их смещения и воздействия, приложенные к данному стержню? ( 7 )
13. Что такое матрица жёсткости стержня? ( 7 ) , ( 11 – 12 )
14. Что такое основная система метода перемещений (ОСМП)? ( 22 )
*)
Только в режиме «Показ слайдов».