История предела числовой последовательности (Валиева, гр. 103)

реклама
*Предел числовой последовательности —
предел последовательности элементов
числового
пространства.
Числовое
пространство
—
это
метрическое
пространство, расстояние в котором
определяется как модуль разности
между элементами.
*
* Понятие предела использовалось ещё
Ньютоном во второй половине XVII века и
математиками XVIII века, такими как
Эйлер и Лагранж, однако они понимали
предел интуитивно. Первые строгие
определения предела последовательности
дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821
году.
*
* К понятию предел вплотную подошли ещё древнегреческие
учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых
фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так,
Архимед, рассматривая последовательности вписанных и
описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода
исчерпывания доказывал, что разность между их
площадями (соответственно объёмами) может быть сделана
меньше любой наперёд заданной положительной величины.
Включая в себя представление о бесконечно малых, метод
исчерпывания являлся зародышем теории о предел.
Однако в явном виде в древнегреческой математике
понятие предел не было сформулировано, не было создано
и
каких-либо
основ
общей
теории.
*
*
Новый этап в развитии понятия о пределах наступил в эпоху
создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей,
И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль
широко используют при
вычислении площадей и объёмов «неделимых» метод, метод
актуальных бесконечно малых. Продолжает в этот период применяться
и развиваться и метод. На основе интуитивного понятия о пределах
появляются попытки создать общую теорию о пределах. Так, И.
Ньютон первый отдел первой книги своего труда посвящает теории о
пределах под названием «Метод первых и последних отношений». В
этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает
концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в
процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше
любой конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным
шагом вперёд в развитии представления о пределах, намечавшееся у
математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось и
уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить
правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё
не являлось методом разработки проблем математического анализа.
*
* Современная теория о пределах начала формироваться в
начале 19 в. в связи с изучением свойств различных
классов функций, прежде всего непрерывных, а также в
связи с попыткой доказательства существования ряда
основных объектов математического анализа (интегралов
функций действительных и комплексных переменных,
сумм рядов, алгебраических корней и более общих
уравнений). Впервые в работах О. Коши понятие предел
стало основой построения математического анализа. Им
были получены основные признаки существования
пределов последовательностей, основные теоремы.
Наконец, он определил интеграл как предел
интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого
определения. Окончательно понятие предел
последовательности и функции оформилось на базе теории
действительного числа в работах Б. Больцано и К.
Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия
Предела следует отметить понятия предел, данные в
работах С. О. Шатуновского, американских математиков Э.
Г. Мура и Г. Л. Смита и французского математика А.
Картана.
* Теорема Вейерштрасса. Всякая
монотонная и ограниченная
последовательность имеет предел.
Некоторые замечательные пределы:
Пусть функция f (x) определена на некотором открытом
интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не
требуется, чтобы значение f (a) было обязательно
Огюстен Луи Коши
определено.)
Число L называется пределом функции f (x) при , если
для каждого существует такое число , что
при условии
.
*
пределов функций раскрывающий
неопределённости
функций
производных
Ещё немного из
истории
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был
опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits»
1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был
сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем
Иоганном Бернулли.
*
* Предел — постоянная, к которой
неограниченно приближается некоторая
переменная величина, зависящая от другой
переменной величины, при определённом
изменении последней. Простейшим
является понятие о пределах числовой
последовательности, с помощью которого
могут быть определены понятия о
пределах функции, предел интегральных
сумм.
Скачать