История предела числовой последовательности (Валиева, гр. 103)
advertisement
*Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. * * Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году. * * К понятию предел вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории о предел. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие предел не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории. * * Новый этап в развитии понятия о пределах наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль широко используют при вычислении площадей и объёмов «неделимых» метод, метод актуальных бесконечно малых. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод. На основе интуитивного понятия о пределах появляются попытки создать общую теорию о пределах. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги своего труда посвящает теории о пределах под названием «Метод первых и последних отношений». В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о пределах, намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа. * * Современная теория о пределах начала формироваться в начале 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений). Впервые в работах О. Коши понятие предел стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования пределов последовательностей, основные теоремы. Наконец, он определил интеграл как предел интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие предел последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия Предела следует отметить понятия предел, данные в работах С. О. Шатуновского, американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита и французского математика А. Картана. * Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Некоторые замечательные пределы: Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно Огюстен Луи Коши определено.) Число L называется пределом функции f (x) при , если для каждого существует такое число , что при условии . * пределов функций раскрывающий неопределённости функций производных Ещё немного из истории Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли. * * Предел — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие о пределах числовой последовательности, с помощью которого могут быть определены понятия о пределах функции, предел интегральных сумм.
