СИММЕТРИЯ МОЛЕКУЛ И КРИСТАЛЛОВ 1. Преобразования симметрии. 2. Группы симметрии, подгруппы. 3. Классификация групп симметрии. 4. Элементы симметрии кристалла. 5. Сингонии и кристаллические классы. 1 Симметрия молекул Точечные группы 2 3 Молекула уксусной кислоты CH3OOH s 4 Диацетил (диметилглиоксаль) C4H6O2 C2 5 Тригидроксихинолин аллюминия C3 6 Циклен C4 7 Зеркально-поворотная ось: Sn = Cn∙sh Инверсия: I = S2 1 0 0 E 0 1 0 0 0 1 0 1 0 C2 ( z) 1 0 0 0 0 1 1 0 0 s h (z ) 0 1 0 0 0 1 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 8 Этан S2 9 Метан CH4 : S4 S4 S4 S4 10 Молекула воды H2O: C2 s1 s2 1 0 0 E 0 1 0 0 0 1 0 1 0 C2 ( z) 1 0 0 0 0 1 1 0 0 s1 ( z) 0 1 0 0 0 1 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 11 C2v Таблица умножения в группе E C2 sv1 sv2 E E C2 sv1 sv2 C2 C2 E sv2 sv1 sv1 sv1 sv2 E C2 sv2 sv2 sv1 C2 E 12 Молекула гидразина N2H4: C2 sh I 0 1 0 C2 ( z) 1 0 0 0 0 1 1 0 0 s h (z ) 0 1 0 0 0 1 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 z 1 0 0 E 0 1 0 0 0 1 13 Таблица умножения в группе E C2 sh I E E C2 sh I C2 C2 E I sh sh sh I E C2 I I sh C2 E C2h 14 Группа C3v s 1C 3 s 2 C3s 1 s 3 15 Группы Cn , Cnv и Cnh Группы Dn и Dnh : Dn Cn nC2 Dnh Dn s h 16 Группы тетраэдра T: E, 4C3, 4C32, 3C2 Th: E, 4C3, 4C32, 3C2 I, 4S6, 4S6-1, 3sh Td: E, 4C3, 4C32, 3C2 3S4, 3S4-1, 6sv 17 Группы куба O: E, 4C3, 4C32, 3C4, 3C4-1, 9C2 Oh: E, 4C3, 4C32, 3C4, 3C4-1, 9C2 I, 4S6, 4S6-1, 4S4, 4S4-1, 9s 18 Симметрия кристаллов: трансляция - параллельный перенос на вектор l l1a1 l2a 2 l3a3 Вопрос: какие операции точечной симметрии совместимы с трансляционной симметрией? Ответ: I s C2 C 3 C4 C6 19 СИНГОНИЯ Симметрия решетки Тип решетки 1.Триклинная 2.Моноклинная 3.Орторомбическая 4.Тетрагональная Ci C2h D2h D4h 1 2/m mmm 4/mmm P P,C P,C,F,I P,I 5.Тригональная 6.Гексагональная 7.Кубическая D3d D6h Oh 3m 6/mmm m3m P P P,I,F 20 Триклинная Ci Моноклинная C2h Орторомбическая D2h Тетрагональная D4h P C B F 21 5.Тригональная D3d 6.Гексагональная D6h 7.Кубическая Oh P B F 22 Зачем изучать симметрию кристаллов? А. Описание кристаллической структуры B. Классификация состояний (электронных, фононных) и переходов между ними (спектров) С. Определение вида тензорных характеристик 23 Кристаллическая структура: 1. Решетка Браве: a, b, c 2. Базис: список атомов и их позиций в ячейке Симметрия кристалла: 1 Сингония - кристаллическая система (7 типов) 2 Тип решетки Браве (P, A, B, C, I, F - 14 типов) 3 Кристаллическая система (32 типа) 4 Типы частичных трансляций 230 пространственных групп 24 Кристаллические классы Сингония Точечные группы Пр. группы триклинная Ci моноклинная C2h Cs орторомбич. D2h C2v D2 тетрагональная D4h D2d C4v D4 тригональная D3d C3v D3 гескагональная D6h D3h C6v D6 C6h C3h C6 168-194 кубическая Oh T C1 Td 1-2 C2 O 3-15 16-74 C4h S4 C3i C3 Th C4 75-142 143-167 195-230 25 Сингония Триклинная Моноклинная Орторомбическая Точечная группа международная сист (Германн-Моген) Шёнфлис 1 C1 1 Ci 2 C2 m Cs 2/m C2h 222 D2 mm2 C2v mmm D2h 26 Винтовые оси 27 Плоскости скольжения 28 Пример: InN, вюрцитная модификация P 63 m c a = 3.54 Å, c = 5.71 Å (Z=2) In ⅔, ⅓, 0.877 N ⅓, ⅔, 0. 29 P 63 m c: C6v\4, N 186 Операции пространственной группы 1 E x y z 2 C6 x-y, x, z+½ 3 C3 -y x-y z 4 C2 -x, -y, z+½ 5 -C3 -x+y -x z 6 -C6 y, -x+y, z+½ 7 Ma -x+y -y z 8 M21 -y -x+y z 9 M+ -y -x z 10 M12 x-y, -y, z+½ 11 Mb x, x-y, z+½ 12 M- y, x, z+½ 30 Размножение атомов x y z E C6 C3 C2 -C3 -C6 Ma M21 M+ M12 Mb M- In1 ⅔, ⅓, 0.877 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 In2 ⅓, ⅔, 0.377 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 N1 ⅓, ⅔, 0 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 N2 ⅔, ⅓, 0.5 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 31 1 4 2 3 2,3 1,4 32 Ceolite Symmetry group F m -3 c (Oh\6, N = 226) a = 24.555 Å x y z n Si 0 .0932 .1850 24 Al 0 .1872 .0904 24 O1 0 .1137 .2466 24 O2 0 .1446 .1459 24 O3 .0538 .0587 .1715 48 Na .0996 .0996 .0996 16 33 34 B. Классификация состояний Состояние – вектор, свойство – матрица Собственный вектор гамильтониана – стационарное состояние H ( R) ( R) ( R) 35 S – преобразование симметрии Инвариантность H к преобразованиям S H ( SR ) H ( R ) S ( R) ( SR) S ( R) H ( R)S ( R) S ( R) Невырожденное состояние S c(S ) c(S ) 1 c(S ) 1 Вырожденное состояние 1 S1 2 C ( S ) 2 S Следствие 1: правила отбора Следствие 2: разбиение векового уравнения на блоки 36 Уравнение для ядерной подсистемы: D( R)u ( R) u ( R) Собственные числа i i2 Собственные векторы ui (R) - частоты колебаний - формы нормальных колебаний. 37 Пример: молекула AX4 Таблица умножения группы C4v. E C41 C43 C42 C43 E C42 C41 C41 C42 E C43 C42 C43 C41 E sx sd1 sd2 sy sy sd2 sd1 sx sd1 sy sx sd2 sd2 sx sy sd1 sx sd1 sd2 sy sy sd2 sd1 sx sd1 sd2 sy sx sx sy sd2 sd1 E C42 C43 C41 C42 E C41 C43 C41 C43 C43 C41 E C42 C42 E 38 Неприводимые представления группы C4v Представле ние E C4 1 C4 2 C4 3 sx sy sd1 sd2 A1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 A2 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 B1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 B2 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 0 0 -1 0 1 -1 0 -1 0 0 1 1 0 0 -1 0 1 1 0 0 -1 -1 0 E 10 01 0 -1 1 0 39