14481_no07

Четырехволновое взаимодействие
и обращение волнового фронта
А_2
накачка 2
А_4 сопряж.
А_3 сигнал
А_1
накачка 1
среда с
керровской
нелинейность
ю
z
z’
Монохроматическое излучение, все частоты одинаковы
E  E1  E2  E3  E4
En  An exp(ik n r )  к.с.
k 2   k1
k 4  k 3
Приближение заданной накачки
| E3,4 || E1,2 |
Компоненты нелинейной поляризации
P1  3 (3) (| E1 |2 2 | E2 |2 ) E1 ,
P2  3 (3) (| E2 |2 2 | E1 |2 ) E2 ,
P3  3 (3) [2(| E1 |2  | E2 |2 ) E3  2 E1 E2 E4* ],
P4  3 (3) [2(| E1 |2  | E2 |2 ) E4  2 E1 E2 E3* ].
Уравнения для поля
dA1
 i1 A1 ,
dz 
dA2
 i 2 A2 ,
dz 
6 (3)
1 
 [| A1 |2 2 | A2 |2 ],
nc
6 (3)
2 
 [| A2 |2 2 | A1 |2 ].
nc
d
| A1,2 |2  0
dz 
6 (3)
 [| A1 (0) |2 2 | A2 (0) |2 ],
nc
6 (3)
2 
 [| A2 (0) |2 2 | A1 (0) |2 ].
nc
1 
Решение
A1 ( z)  A1 (0)exp(i1 z ),
A2 ( z)  A2 (0)exp( i 2 z)
В выражении дляP3,4
E1 ( z ) E2 ( z )  E1 (0) E2 (0) exp[i (1   2 ) z ]
Для обращения фазы нужно
1   2  | E1 |2 | E2 |2
Далее считаем интенсивности двух волн накачки совпадающими.
Решение*
dA3
 i 3 A3  i A4* ,
dz
dA4
 i 3 A4  i A3* ,
dz
12 (3)
3 
 [| A1 |2  | A2 |2 ],
nc
12 (3)

 A1 A2 .
nc
A3 , A4* ~ exp(ipz )
( p   3 )2   2  0
p  3   ,
A4* 
p   3   ,
p  3

p   3  
A3
A3 ( z )   exp(ip z )   exp(ip z )
A4* ( z )   exp(ip z )   exp(ip z )
A30    
Граничные условия
A3 (0)  A30
A4* ( L)  0
   exp[i( p  p ) L]   exp(2i L)
A3 ( L) 
A30
exp(i 3 L),
cos( L)
*
A4 (0)  iA30
tg( * L)
Выводы
-Фазы обращенной и сигнальной волн противоположны
(с точностью до постоянной составляющей)
2
2
|
A
(
L
)
|

|
A
|
3
30
-
- Коэффициент отражения (по интенсивности, считаем κ вещественным)
| A4 (0) |2
2
R

tg
( L)
2
| A3 (0) |
принимает любые значения.
При слабых полях
| E1,2 || E3,4 |
задача линейна по этим полям, и можно, пользуясь принципом суперпозиции по этим
полям, рассмотреть обращение не только плоской волны, но и произвольного пучка.
ОВФ и компенсация неоднородностей
Пусть на неоднородность падает исходная плоская волна или пучок высокого качества.
Тогда, в рамках квазиоптического приближения,
E  A(r)exp[i(kz  t )]  к.с.
2ik
A
 (r )
  2 A  k 2
A0
z
0
При комплексном сопряжении уравнения
A*
 (r ) *
2ik
  2 A*  k 2
A 0
z
0
решение имеет вид
Ec  A* (r )exp[i ( kz  t )]  к.с.
Это волна, распространяющаяся в направлении –z и с обращенной фазой по отношению к исходной волне.
Поэтому, если в каком-то сечении после прохождения исходной волной неоднородности обратить волну,
то сопряженная волна, пройдя неоднородность, превратится в плоскую волну (или пучок высокого качества).
Поляризационные эффекты при ОВФ
B
C -сопряж.
S -сигнал
накачка 2
среда с
керровской
нелинейность
ю
E FBSC
z
F
накачка 1
z’
В среде с керровской нелинейностью
нелинейная часть поляризации
P  6 1122 (E, E* )E  31221 (E, E)E* 
1
 A(E, E* )E  B(E, E)E*
2
Компонента нелинейной поляризации, действующая как источник для
сопряженной волны С, в приближении заданной накачки и малости угла
между направлениями z и z’
(продольные компоненты полей пренебрежимо малы)
 Px 
 1111 Bx Fx  1221 By Fy , 1122 ( Bx Fy  B y Fx )   S x* 
 P   6   ( B F  B F ),  B F   B F   * 
y x
1111 y y
1221 x x   S y 
 y
 1122 x y
1111  2 1122  1221
Отсутствие поляризационных
искажений
Условие – представимость матрицы в виде скаляра, умноженного на единичную матрицу, то есть
1122 ( Bx Fx  By Fy )  0
1122 ( Bx Fy  By Fx )  0
Два варианта выполнения этих условий:
1122  0
1) Электрострикционная нелинейность, А = 0, то есть
. Тогда оба условия выполняются при любых поляризациях волн накачки.
2) A  0
Тогда необходимо
Bx Fy  By Fx  0
Bx Fx  By Fy  0
Условия разрешимости (Det = 0) дают
Fy  iFx , By  iBx
Fx2  Fy2  0, Bx2  By2  0, By / Bx  Fx / Fy
Это отвечает согласованной круговой поляризации волн накачки
Квадратичная нелинейность –
импульсы, пучки
ГВГ типа I, накачка монохроматична и обладает частотой ω,
генерируется частота 2ω. Система связанных квазиоптических уравнений
E1
   E1  2k1dE2 E1* exp( i kz )  0,
z
E 
 E
2ik2  2   2 2     E2  8k1dE12 exp(i kz )  0.
x 
 z
2ik1
 k  2k1  k2 , d  ( /  0 n1c )  (2)
Нормировка амплитуд
Нормировка координат
E1  (  / d )v exp(i  z ), E2  (  / 2d ) w exp[i (2    k ) z ]
x  x 2k1 , y  y 2k1 , z   z
v
  ' v  v  wv*  0
z 
w
w
1
i
 i
  ' w   w  v 2  0
z 
x
2
  k2 / k1  2,    (2   k /  )
i
Одномерная геометрия
(планарный волновод)
v  2 v
i  2  v  wv*  0
z x
w
w  2 w
1
i
 i
 2   w  v2  0
z
x x
2
Предел больших расстроек
  1
w
1 2
v
2
v  2 v
1
i  2 v
| v |2 v  0
z x
2
НУШ
Отличие – истинного коллапса нет. Солитоны есть. В частности, при  1
v( x )  2w( x )  (3/ 2)sch 2 ( x / 2)
Взаимофокусировка.
Нелокальные механизмы
оптической нелинейности
Электрострикцией называют деформацию диэлектриков, пропорциональную
квадрату электрической напряженности 2
E
 2

2 

2


v
s     div f ,
 2

t

t




f  p 
 | E |2 ,    0
.
2

Г определяет затухание звука,
v s – скорость звука, р – давление. Для пучка радиуса w стационарное распределение плотности достигается
за время порядка времени пробега звука поперек пучка
 s  w / vs
 p s
(даже при слабом затухании звука). Поэтому при длительности импульса
 p   s
нелинейный отклик среды нестационарный и нелокальный. При длинных импульсах
установившееся значение плотности локально связано с интенсивностью излучения:
Электрострикция*
 

| E |2
2
2 vs
Соответственно, стрикционная нелинейность оказывается локальной и керровской
2
   

    0 2   | E |2

2 vs   
~ 10
Коэффициент стрикционной нелинейности в жидкостях
а в газах.при нормальных условиях ~ 10
15
CGSE
12
CGSE
Тепловая нелинейность
уравнение теплопроводности
cp 
T
cn
 T 
| E |2
t
2
c p – удельная теплоемкость (при постоянном давлении), κ – коэффициент теплопроводности,
α – коэффициент поглощения.
Характерное время установления температурного распределения в пучке
(из сравнения линейных членов уравнения)
T 
При малых
временах
c p  w2

t   T
тепло не успевает растечься, температура нестационарна и локально связана с интенсивностью излучения
cn
T
| E |2 dt

2 c p  0
t
При больших временах распределение температуры стационарно и нелокально по интенсивности, в соответствии с уравне
T  
cn
| E |2
2
.
Тепловая нелинейность наблюдается для непрерывного излучения даже в случае маломощных лазеров и слабопоглощаю
Вопрос: Существенны ли тепловые нелинейности для фемтосекундных импульсов?
(температурное равновесие не успеет установиться).