Экстремумы функции многих переменных

[ определение локального экстремума – необходимые условия – достаточные условия – условный экстремум – вывод
уравнений Лагранжа – примеры ]
Точка P0 называется точкой экстремума - локального максимума
(минимума) функции f(P) , если в окрестности U(P0 ) функция f(P)
определена и f ( P )  f ( P 0 ) ( f ( P )  f ( P 0 )) P  U ( P0 )
Необходимое условие экстремума
Максимум
Пусть P0 точка экстремума функции f(P) .
Тогда частные производные функции f
либо не существует, либо равны нулю.
f ( P0 )
f(x,y) – функция двух переменных
P0 (x0,y0) – критическая точка
grad f ( P )  0  f  0
x
 f

 0

y

P0
z  y
Достаточное условие экстремума
Пусть fx( x 0 , y 0 )  0 и fy( x 0 , y 0 )  0 , а вторые
частные производные функции f непрерывны в некоторой
окрестности точки (x0,y0).
Введем:
D 
fxx'' fxy''
fxy'' fyy''
P ( x 0 ,y 0 )
  
 fxx''fyy''  fxy''

2
z 'x
x
 '
 z y
2
D 
0
2
 2 x  0
 2y  0
0
 4  0
2
z
2
P ( x 0 ,y 0 )
Тогда, если D < 0 , то в точке (x0,y0) экстремума нет.
Если D > 0 , то в точке (x0,y0) есть экстремум,
''
причем если A  fxx ( x 0 , y 0 )  0 , то минимум,
а если A < 0 , то максимум.
Если D = 0 , то экстремум может быть, а может и не быть.
В этом случае требуются дополнительные исследования.
f ( P0 )
x
y
@
Найти локальный экстремум для функции ln( x
2
 y2 1)
Решение
z  ln( x 2  y 2  1 )  z 

x0  0 , y0  0

2 y2  x2  1
2 z
=
2
x 2
x2  y2  1


4 xy
2 z
=x y
x2  y2  1



x
x2
2y
z
2x

,
y
x2  y2  1
 y2  1

2 x2  y2  1
2 z
=
2
y 2
x2  y2  1


z


0
2
2 0
A  2, D 
 4  0
0 2
z( 0; 0 )  0
 Min
x
y
Задачу исследования функции f : R ( n )  R на условный экстремум при
ограничениях hi ( x )  0, i  1, m , заданных с помощью функций hi
записывают в виде f ( x )  Extr , hi ( x )  0, i  1, m
и называют задачей на условный экстремум.
z
Для случая функции двух переменных:
f ( x , y )  Extr ,
h( x , y )  0
Целевая функция.
Уравнение связи.
Пример:
z  y 2  x 2  Max
ax  by  1
y
x
Для случая функции двух переменных f ( x , y ) заданное условие
экстремума определяет уравнение линии h(x,y) = 0 .
Производная неявной функции y(x), входящей в уравнение h(x,y) = 0 :

h
h
h h dy
 dy 
grad
(
h
)

i

j
Градиент
к
кривой
h(x,y)
:

 0 T   1,


x

y
x
y dx
 dx 
Скалярное произведение :
h dy h
T  grad ( h ) 

0
x dx y
grad h
При движении вдоль кривой : T  grad( h )  0
T
h(x,y) = 0
- grad f
Только в точке условного экстремума T  grad( h )  0
Следовательно векторы grad f и grad h должны
быть коллинеарными : grad f   grad h  0
grad f
grad f  f
grad h  h
Для случая функции двух переменных функция Лагранжа имеет вид :
T
 f
h 


 x


x



f

h
   f   h , h
F = 



 y
y 


h






F( x , y ,  ) = f ( x , y )   h ( x , y )
Система необходимых уравнений : F = 0
 f
h


 0
 x
x

h
 f
 

 0
y
 y
 h( x , y )  0


@
y2
x2

1 0
Найти условный экстремум: f ( x , y )  xy , h( x , y ) 
8
2
Решение
F = 0
4 y   x  0

  x  y  0
 x 2  4y 2  8

x
2

y
y
2
2 2   2 
2
2
1
 2  4  1  2 , 2  2
 x  2 y
 y  1
f  xy
x
0
x  2
Max f  xy , M1 ( 2 , 1 ) , M2 (-2 ,-1 )
Min f  xy , M3 (-2 , 1 ) , M4 ( 2 ,-1 )
c 2
c  2
@
Задача Кеплера. Найти размеры цилиндра наибольшего объема, вписанного в
шар. Найти отношение величины объема шара к величине объема цилиндра.
Решение
4
R3
3
Vc  2 ( R 2  x 2 ) x

dVc
 2 ( R 2  3x 2 )  R 2  3x 2  0 
dx
x0 
h

d
R
3
 h 
2R
2 3R
2
3

2R
3
1
2
d 2 R
2
d

h
R
d
0
R2

3
2
Vs
4

Vc
3
R 3
2x
Vs 
R2 R
2
2 ( R 
)
3
3

3