Математические модели и оптимальные процессы в

Математические модели и
оптимальные процессы в экономике
(термодинамический подход)
Анатолий Михайлович
Цирлин
-2-
МС: термодинамика, экономика,
миграция, сегрегированные системы
Экстенсивные
V, U, …, N0, N
Интенсивные
T, m, P, …, p, c
-3-
Уравнение
состояния
Необратимость и кинетика
«Естественные процессы»
Стохастического взаимодействия
lim  p1 (t )  p2 (t )   0
t 
dN 1 / dt  dN 2 / dt  g ( p1 , p2 )
Мера необратимости,
диссипация
S,
-4-
s
Основные задачи
1. Процессы минимальной диссипации .
2. Стационарное состояние ОС, включающей
посредника.
3. Предельные возможности посредника в
замкнутых, открытых и нестационарных
МС.
4. Количественная мера необратимости в
микроэкономике.
5. Область реализуемых состояний МС.
-5-
Мера необратимости в
микроэкономических системах
Экономический
агент
n+1 запасы ресурсов и
NR
pi(N)
капитала (N0)
оценка i-го ресурса
(равновесная цена)
Существует функция благосостояния S(N) такая, что
n

dS  p0 (N ) dN 0   pi (N )dN i
i 1

S
1 S
p0 
, pi 
,
N 0
p0 N i
-6-



, p0 (N )  0



 2S
p0 pi  
p0 p j 
N i
N j
N i N j
Принцип добровольности
dSi  0, i=1,2
Если p1i и p2i имеют
одинаковый знак, то не
менее двух потоков.
При
p1  p 2
g ( p1 , p 2 )  0,


Sрез  p0  N 0   pi N i , p0 , pi  const,
i


Sа  p0 (N 0 )N 0  извлечение капитала
-7-
Диссипация капитала
 
c (t )  p (t ),
 – фикс.
 dS  0  N 0  0


0
0
S  p0  g(c , p )(c  p )dt  0 N 0   g(c , p )(c  p )dt 
S
.
p0
s = g(c,p)(c–p) диссипация капитала (торговые издержки)
-8-
Процессы минимальной диссипации
термодинамика
s
1

g( p,u )X ( p,u )dt


0
1

g ( p , u )dt


 min
u (t )
g
0
.
.
N 1  g  p   ( p , u ),
p (0)  p 0 ,   0 p  u 
Для случая
 = a( p )g( p, u )
получим:
-9-
g
X
 const
g u u
2
Процессы минимальной диссипации
термодинамика
Теплоперенос:
p ~ T1, u ~ T2
g ~ q  a (T 1 T 2 ),
q
 (T 1 ,T 2 ) 
c (T 1 )
1
1
X 

T 2 T1
- 10 -
T 1 (t )
 const
T 2 (t )
- 11 -
Процессы минимальной диссипации
микроэкономика
N 0 ( )  min
c (t )
dN 0
 cg(c , p ), N 0 (0)  N 00 ,
dt
dN
 g (c , p ), N (0)  N 0 ,
dt
1

g (c , p )dt


0
d  g c  g p p N 0 
 2 
dN  g 
g2
- 12 -
 g.
Стационарное состояние открытых МС
Термодинамика
n – мощность, p1i~Ti
q – тепло,
g – вещество,
p – интенсивные
переменные
n   qi ( pi ,ui )  gi ( pi ,ui )  max
u
i
при
qij (pi , p j )  qi ,
j
 gi
i
- 13 -
 0,

qij 
 gij sij  p   0, i  1,,m
1j 
j 


 gij (pi , p j )  gi ,
j

qi 
g
s

  i i u   0.
1i 
i 
Если g = 0, qij = aij(Ti – Tj), то
Ti
Ti
2
 ai u   a i ; ui   1  
i
i
i
i



ai 1   i   i aij , i  1,,m
j
 ui

Если m = 2, T1 = T+, T2 = T–, то
u1*  k T  , u 2*  k T  ,   1 
N max
- 14 -
a1a 2

a1  a 2
T

 T

2
T
,
T
– предельная мощность ТМ
Экстремальный принцип Пригожина при g = AX
(A – матрица Онзагера) справедлив для любого u.
Стационарное состояние открытых МС
Микроэкономика
ui – цены,
p – оценки
n   gi ( pi ,ui )ui  max
u, p
i
 gij (pi , p j )  gi ,  gi
j
- 15 -
i
 0.
Если gij = aij(pj – pj), gi = ai(ui – pj), то
i
u i  0,5pi  i   ,   u i  i  
ai
Если m = 2, p1 = p+, p2 = p–, то
 aij .
j
2a1 p   a 2 p   p  
2a 2 p   a1 p   p  
u1 
, u2 
,
2a1  a 2 
2a1  a 2 
a1a 2
p   p  2
n max 
4a1  a 2 
Аналог экстремального принципа Пригожина
для g = A (ij=pi – pj):
s  0,5 Tij Aij ij   Ti Ai i  min
i ,j
- 16 -
A – симметрическая.
i
p
u
Оптимальные процессы
Работоспособность Amax()=?
Управление u(t) = (u1, …, um),
h(t) = (h1,…,hm), hi = {0, 1}
k – число условий на конечное
состояние.
Утверждение (для любого закона теплообмена):
1. .u*(t) h – процессы минимальной диссипации.
2. Для резервуаров {u*(t), h*(t)} – кусочно постоянная
функция, которая принимает не более k+1 значений.
3. Энтропия системы кусочно-линейная q, g.
- 17 -
.
Если qi  a i ui T i , T
A

Q 


Q
 

T
 0i

- 18 -
i
qi
  , T i (0)  T 0i
ci


T 0i 
– эксергия

A   ci T 0i T i 1  ln
T  

i

 Q  (k ) Q  (k ),

 a i (1  ki ) 
,
 T 0i ci 1  exp  
ci

i


ai (1  ki )
 T a  
i a ki  a i (1  ki )
 ai 

T a 2
exp  
(1  ki )  
2
c


a
k

a
(
1

k
)
i


 i
i
i
Системы разделения
A min ( ) 
m
RTN
0
  j  x ij
j 0
m
   j2 
j 0
i
i
x ij2
aij
xi 0

 A 0  ( )
 0  1,  j 
- 19 -
ln
x ij
Nj
N0
Микроэкономика. Прибыльность =?
E ( )   N i 0 (0)  N i 0 ( )   max
c (t ), h (t )
i
.
N i  n i ( pi ,ci ), N i (0)  N i0 ;
.
N i 0  ci n i (), pi  pi (N i 0 , N i ), i  1,  , m .
E – аналог эксергии.
 – задано:
c*(t) удовлетворяет условиям минимальной
диссипации при каждом контакте
 ci* (N i , N i )
*
N i удовлетворяют условиям
ci* (N i
Ni
c *
,N i )  
dN i   i ,
N i
N0
i
- 20 -
0
N

N
i

 i.
i
i
Нестационарные резервуары
Термодинамика
p  q (T 0 (t ),T )  max
T (t )
1
q
1
  const
2
T q T T
p max

32
32

T

T
T

T
4
02
01
 a  01
  02

2
9  T 02 T 01





2



Микроэкономика m  pg ( p0 , p )  max

g
p 
g p
- 21 -
q
 p p dt
0

q
 p dt
0
p (t )
Область реализуемости
Термодинамика (тепловая машина)
s  0 (  , p  0) ~ D 0
D  D0
s (p )  0 ( , p  0) ~ D
K
1 p
 ( p )  
 K
2  aT 
- 22 -
T
 1
T

1 p
 

 K
4  aT 

2

p
 
 aT 
Область реализуемости
Микроэкономика (посредник)
p
0 
1
p

Pmax
- 23 -
a1a 2

4 a1  a 2


p  a1  p  a 
 a p
2
gi  ai ci  pi
a1  a 
2



 2  a1 p2  2
