термодинамика и экономика

Предельные возможности
макросистем
(термодинамика и экономика)
Анатолий Михайлович
Цирлин
МС: термодинамика, экономика,
миграция, сегрегированные системы
Экстенсивные
V, U, …, N0, N
Интенсивные
T, m, P, …, p, c
-2-
Уравнение
состояния
Необратимость и кинетика
«Естественные процессы»
Стохастического взаимодействия
lim  p1 (t )  p2 (t )   0
t 
dN 1 / dt  dN 2 / dt  g ( p1 , p2 )
Мера необратимости,
диссипация
S,
-3-
s
Основные задачи
1. Процессы минимальной диссипации .
2. Стационарное состояние ОС, включающей
посредника.
3. Предельные возможности посредника в
замкнутых, открытых и нестационарных
МС.
4. Количественная мера необратимости в
микроэкономике.
5. Область реализуемых состояний МС.
-4-
Процессы минимальной диссипации
термодинамика
Теплоперенос:
p ~ T1, u ~ T2
g ~ q   (T 1 T 2 ),
q
 (T 1 ,T 2 ) 
c (T 1 )
1
1
X 

T 2 T1
-5-
T 1 (t )
 const
T 2 (t )
Процессы минимальной диссипации
термодинамика
s
1

g( p,u )X ( p,u )dt


0
1

g ( p , u )dt


 min
u (t )
g
0
.
.
N 1  g  p   ( p , u ),
p (0)  p 0 ,   0 p  u 
Для случая
 = ( p )g( p, u )
получим:
-6-
g
X
 const
g u u
2
Если g = 0, qij = ij(Ti – Tj), то
Ti
Ti
2
 i u    i ; ui   1  
i
i
i
i



i 1   i   i ij , i  1,,m
j
 ui

Если m = 2, T1 = T+, T2 = T–, то
u1*  k T  , u 2*  k T  ,   1 
N max
-7-
1 2

1   2
T

 T

2
T
,
T
– предельная мощность ТМ
Экстремальный принцип Пригожина при g = AX
(A – матрица Онзагера) справедлив для любого u.
Оптимальные процессы
Работоспособность Amax()=?
Управление u(t) = (u1, …, um),
h(t) = (h1,…,hm), hi = {0, 1}
k – число условий на конечное
состояние.
Утверждение (для любого закона теплообмена):
1. .u*(t) "h – процессы минимальной диссипации.
2. Для резервуаров {u*(t), h*(t)} – кусочно постоянная
функция, которая принимает не более k+1 значений.
3. Энтропия системы кусочно-линейная "q, g.
-8-
.
Если qi   i ui T i , T
A

Q 


Q
 

T
 0i

-9-
i
qi
  , T i (0)  T 0i
ci


T 0i 
– эксергия

A   ci T 0i T i 1  ln
T  

i

 Q  (k ) Q  (k ),

  i (1  ki ) 
,
 T 0i ci 1  exp  
ci

i


i (1  ki )
 T   
i  ki   i (1  ki )
 i 

T  2
exp  
(1  ki )  
2
c



k


(
1

k
)
i


 i
i
i
Системы разделения
A min ( ) 
m
RTN
0
  j  x ij
j 0
m
   j2 
j 0
i
i
x ij2
ij
xi 0

 A 0  ( )
 0  1,  j 
- 10 -
ln
x ij
Nj
N0
Нестационарные резервуары
Термодинамика
p  q (T 0 (t ),T )  max
T (t )
1
q
1
  const
2
T q T T
p max

32
32

T

T
T

T
4
02
01
   01
  02

2
9  T 02 T 01





2



Микроэкономика m  pg ( p0 , p )  max
p (t )

p
- 11 -
g
0 p p dt

g
 p dt
g

g p
Область реализуемости
Термодинамика (тепловая машина)
s  0 (  , p  0) ~ D 0
D  D0
s (p )  0 ( , p  0) ~ D
K
1 p
 ( p )  
 K
2  T 
- 12 -
T
 1
T

1 p
 

 K
4  T 

2

p
 
 T 
Мера необратимости в
микроэкономических системах
Экономический
агент
n+1 запасы ресурсов и
NR
pi(N)
капитала (N0)
оценка i-го ресурса
(равновесная цена)
Существует функция благосостояния S(N) однородная
первой степени и такая, что
n


dS  p0 (N ) dN 0   pi (N )dN i , p0 (N )  0
i 1


Капитализация F  N 
pN
0
S
1 S
p0 
, pi 
,
N 0
p0 N i
- 13 -

i

i



 2S
p0 pi  
p0 p j 
N i
N j
N i N j
Принцип добровольности
dSi  0, i=1,2
Если p1i и p2i имеют
одинаковый знак, то не
менее двух потоков.
При
p1  p 2
g ( p1 , p 2 )  0,


Sрез  p0  N 0   pi N i , p0 , pi  const,
i


Sа  p0 (N 0 )N 0  извлечение капитала
- 14 -
Диссипация капитала
 
c (t )  p (t ),
 – фикс.
 dS  0  N 0  0


0
0
S  p0  g(c , p )(c  p )dt  0 N 0   g(c , p )(c  p )dt 
S
.
p0
s = g(c,p)(c–p) диссипация капитала (торговые издержки)
- 15 -
Процессы минимальной диссипации
микроэкономика
N 0 ( )  min
c (t )
dN 0
 cg(c , p ), N 0 (0)  N 00 ,
dt
dN
 g (c , p ), N (0)  N 0 ,
dt
1

g (c , p )dt


0
d  g c  g p p N 0 
 2 
dN  g 
g2
- 16 -
 g.
Стационарное состояние открытых МС
Термодинамика
n – мощность, p1i~Ti
q – тепло,
g – вещество,
p – интенсивные
переменные
n   qi ( pi ,ui )  gi ( pi ,ui )  max
u
i
при
qij (pi , p j )  qi ,
j
 gi
i
- 17 -
 0,

qij 
 gij sij  p   0, i  1,,m
1j 
j 


 gij (pi , p j )  gi ,
j

qi 
g
s

  i i u   0.
1i 
i 
Стационарное состояние открытых МС
Микроэкономика
ui – цены,
p – оценки
n   gi ( pi ,ui )ui  max
u, p
i
 gij (pi , p j )  gi ,  gi
j
- 18 -
i
 0.
Если gij = ij(pj – pj), gi = i(ui – pj), то
i
u i  0,5pi  i   ,   u i  i  
i
Если m = 2, p1 = p+, p2 = p–, то
 ij .
j
21 p    2 p   p  
2 2 p   1 p   p  
u1 
, u2 
,
21   2 
21   2 
1 2
p   p  2
n max 
41   2 
Аналог экстремального принципа Пригожина
для g = A (ij=pi – pj):
s  0,5 Tij Aij ij   Ti Ai i  min
i ,j
- 19 -
A – симметрическая.
i
p
"u
Микроэкономика. Прибыльность =?
E ( )   N i 0 (0)  N i 0 ( )   max
c (t ), h (t )
i
.
N i  n i ( pi ,ci ), N i (0)  N i0 ;
.
N i 0  ci n i (), pi  pi (N i 0 , N i ), i  1,  , m .
E – аналог эксергии.
 – задано:
c*(t) удовлетворяет условиям минимальной
диссипации при каждом контакте
 ci* (N i , N i )
*
N i удовлетворяют условиям
ci* (N i
Ni
c *
,N i )  
dN i   "i ,
N i
N0
i
- 20 -
0
N

N
i

 i.
i
i
Область реализуемости
Микроэкономика (посредник)
p
0 
1
p

Pmax
- 21 -
1 2

4 1   2


p  1  p   
  p
2
gi  i ci  pi
1   
2



 2  1 p2  2
