Мартынов Ю.В., Смольникова И.А. () СТИ МГУС, г. Москва

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ОГРАНИЧЕННЫХ СРЕДСТВ
Мартынов Ю.В.,
СТИ МГУС, г. Москва
Смольникова И.А. ([email protected])
МИОО, г. Москва
Анализ применения ИКТ в управлении образовательными системами, описанный в [1]
и [2], позволил выделить 4 уровня. Уровни A (отдельные ИС) и B (интегрированная ИС)
решают задачу наблюдения (частичного или полного мониторинга), C (система поддержки
принятия решения) облегчает принятие решений специалистом, а D (математическая модель
оптимизации) дает основу для повышения эффективности структуры и функционирования
административных подразделений, которая начата в передовых ВУЗах России.
Для реализации уровня D развиваю легко алгоритмизируемую дискретную модель (1)–
(2) линейного программирования. Она заключается в поиске норматива (доли) получения
желаемых неотрицательных рациональных x0i, из i=1,…, n видов благ, дающих
максимальное значение d0 критерию удовлетворённости запросов c x := сумме ∑i=1n ci xi (1)
при ограниченных ресурсах bj, т.е. ограничениях стоимости необходимых товаров и услуг aj
x := сумме ∑i=1n aij xi <= bj (2), j=1,…, m – количество ресурсов (расходных статей), где aij –
цена i-ой услуги из j –й статьи [2].
Задача (1)–(2) сводима к перебору максимум М=2min(n, m-n/2) вершин симплекса Ax=b
(3), полученных методом Гаусса максимум за N=(2m-n)n шагов. Поэтому время расчета
Δ0=M N / производительность ЭВМ
В результате получим векторное решение x0 и долю удовлетворённых заявок d0 на 1-й
период времени [t0, t1). Со временем величины aij, bj и ci в (1)–(2) могут изменяться.
Поэтому может изменяться и норма. Социальная справедливость будет соблюдена при учёте
полученных услуг каждым нуждающимся субъектом или объектом, что требует полного
учёта за несколько периодов распределения и даже лет.
Откорректируем величины с учетом остатков предыдущего периода на следующий kый период [tk-1, tk) (произведения векторов – скалярные, а верхние индексы указывают
период):
cik:= cik-1 – dik-1 + cik
bjk:= bjk-1 – ajk-1 x k-1 + bjk
(4)
где aijk-1 могут быть уменьшены за счет скидок на оптовые партии.
Продолжительность периодов Δk = tk - tk-1 ограничена снизу Δ0, но при
необходимости (форс-мажор при теракте или стихийном бедствии) может потребоваться
внеплановое (k+1)-е решение. Если статьи расхода другие (непредвиденные расходы), то и
финансовые средства могут браться из других источников bm+1, из резервного фонда
муниципалитета (возможно частично по тем же статьям расхода bj, j=1,.., m) или из остатков
сэкономленных средств (не все заявки dk реализовали из-за выбытия нуждающихся или
низкой пропускной способности организаций, оказывающих требуемые услуги).
В конце года так же требуется решение по распределению оставшихся средств: это
могут быть остатки предыдущего периода, новые неожиданные поступления или
спонсорские средства. Они могут распределяться и на другие нужды (подарки, концерты,
украшения помещений и т.п.). Средства bj на новые цели ci, для новой системы (1)–(2)
распределяются аналогично.
Финансовые средства bj по статьям j=1,…m, могут планироваться местным
законодательным органом в соответствии с законом о бюджете, т.е. b = G u, где G – матрица
коэффициентов gij, направленных из i-го источника (вида налога) на j-ую статью, а ∑i=1p ui
= U - сумма всех поступлений. При планировании u задача (1)–(2) будет иметь вид:
max c x
при Ax ≤ Gu, |x|>0, |u|=U
(5)
и решением будет пара x0, u0, дающая максимум d0 целевой функции. Это значение d0
может быть больше значения d0 задачи (1)–(2), если целевая функция c x дала максимальное
значение при aj x0 = gj u0 в направлении c. Поэтому при принятии бюджета важна стратегия
|u|=U, дающая максимум c x на ожидаемых c и A в (5).
Кроме благоприятных факторов (рост поступлений u) могут появиться и
неблагоприятные (непредвиденные расходы) |v| ≤ V. В этом случае задача (5) имеет вид:
max {[min c x при |v| ≤ V ] при Ax ≤ G(u–v), |x|>0, |u|≤U}
(6)
Так же можно заметить:
max {[min c x при |v| ≤ V ] при Ax ≤ G(u–v), |x|>0, |u|≤U} ≤ min {[max c x при |u|≤U ] при
Ax ≤ G(u–v), |x|>0, |v| ≤ V }
(7)
что означает необходимость прогнозирования непредвиденных расходов и
оптимальных решений при учёте неблагоприятных факторов. Т.к. матрица G оказывает
изоморфное воздействие типа поворота и растяжения, то при выпуклых замкнутых
ограниченных множествах |u|≤U и |v| ≤ V с V ≤ U задача (6) сводится к задаче (5) для u:=u–v
и U:=U–V.
К сожалению, на практике часто удовлетворение заявок происходит по мере их
поступления и зависит от настойчивости заявителей. Предлагаемый метод при наличии
ЭВМ позволяет избежать социальной несправедливости и добиться максимально
возможного удовлетворения запросов при ограниченных средствах.
Литература
1. Ю.В. Мартынов, И.А. Смольникова. Автоматизированные информационные системы
сферы образования.– а) Троицк, 2002,с.221-224 и б) ИТО-2002, ч.IV, с.201-204.
2. Ю.В. Мартынов, И.А. Смольникова. Направления автоматизации управления в системе
образования.– Троицк, 2003,секц.7.