гомотетия - Matemat.me

ГОМОТЕТИЯ
Исследовательская работа
Работу выполнили: Соловьёва Алёна и
Киселёва Яна, ученицы
11 «М» класса МОУ СОШ №32
Руководитель: Стаханова П.А.,
учитель математики МОУ СОШ №32
Цель работы:
исследование гомотетии и её свойств, а
также применение гомотетии при
решении задач.
Методы исследования:
•
•
•
•
Изучение теории
Доказательства некоторых свойств гомотетии
Установление связи между гомотетией и
решением задач
Выполнение практической части
Актуальность
1. Данная тема является дополнением и углублением
изученных в курсе геометрии свойств гомотетии.
2. Применение опыта решения планиметрических задач
с использованием гомотетии помогает повысить
уровень пространственного воображения
и уровень логической культуры.
3. Изучение данной темы поможет более глубоко
подготовиться к вступительным экзаменам и успешному
участию в математических конкурсах и олимпиадах.
Гомотетией с центром O и коэффициентом k  0
плоскости называется преобразование
плоскости, которое каждую точку X
отображает на такую точку X  ,
что OX   k  OX
Частные примеры гомотетии
•
k=1. OX   OX
•
k= -1. ОХ   ОХ
Т. X  симметрична точке Х
относительно центра
гомотетии. Симметрия
относительно точки О.
•
H Ok (O )  O
т. X  совпадает с точкой Х.
Тождественное
преобразование
плоскости.
т.к. k  OO  OO
Центр гомотетии является
ее неподвижной точкой.
Свойства гомотетии
1. Отрезок,
соединяющий две
произвольные
точки плоскости,
не лежащие на
одной прямой с
центром
гомотетии, и
отрезок,
соединяющий
образы этих точек,
параллельны.
2. Всякая прямая, не проходящая через центр
гомотетии, преобразуется в параллельную
ей прямую.
3. При гомотетии отрезок преобразуется в
отрезок.
4. При гомотетии угол преобразуется в
равный ему угол.
5. При гомотетии многоугольник
преобразуется в подобный ему
многоугольник.
Гомотетичные окружности
Всякая гомотетия отображает окружность на
окружность, так как при гомотетии все
расстояния умножаются на одно и то же
число – модуль коэффициента гомотетии.
Практическое применение
гомотетии
• Гомотетия чаще всего используется в задачах на
нахождение ГМТ
• С помощью гомотетии можно строить подобные фигуры
• С помощью гомотетии можно находить отношение
отрезков, площадей, объемов
Пантограф - механизм, который даёт
возможность вычертить фигуру,
перспективно-подобную любой заданной
фигуре, притом с любым положительным
коэффициентом подобия. Впервые он был
создан вначале XVII века.
Задача №1
Докажите, что точки, симметричные
произвольной точке относительно
середин сторон квадрата, являются
вершинами некоторого квадрата.
Дано: ABCD - квадрат, P - произвольная точка; M, N, K, L середины сторон квадрата АВСD соответственно.
Построим Р1, Р2, Р3 и Р4 точки симметричные т. Р
относительно середин АВ,
ВС, СD, DA.
Докажем, что Р1Р2Р3Р4 –
квадрат.
Доказательство:
• т. к. Р1, Р2, Р3 и Р4
лежат на PM, PN,
PK, PL
соответственно, то
Р1, Р2, Р3 и Р4
гомотетичны M, N,
K, L относительно P
с коэффициентом 2,
• т. к. РР1 = 2РМ, РР2
= 2РN, PP3 = 2PK,
PP4 = 2PL
и т. к. MNKL квадрат, то Р1P2P3P4
- тоже квадрат.
Что и требовалось доказать.
Задача №2
Объём треугольной пирамиды 1.
Найдите объём пирамиды с вершинами
в точках пересечения медиан данной
пирамиды.
Пусть A1 , B1 , C1 и D1 – точки
пересечения медиан граней
соответственно BCD , ACD , ABD
и ABC треугольной пирамиды
ABCD . Тогда отрезки AA1 , BB1 ,
CC1 и DD1 (медианы тетраэдра)
пересекаются в одной точке (M)
и делятся ею в отношении 3:1,
считая от вершин пирамиды.
Поэтому при гомотетии
относительно точки M с
коэффициентом 1/3 - точка A
переходит в точку A1 , точка B –
в точку B1 , C – в C1 , D – в D1 .
Значит, тетраэдр A1B1C1D1
подобен тетраэдру ABCD с
коэффициентом 1/3.
Следовательно,
1
3
VA1B1C1D1 =(1/3) · VABCD =
.
27
Решение:
Задача №3
Доказать, что в неравностороннем
треугольнике ABC центроид G,
ортоцентр H и центр O описанной
окружности лежат на одной прямой,
причем GH  2OG .
• Дано: АВС , т. G – центроид, т. Н – ортоцентр, т. О –
центр описанной окружности; .
• Доказать: т. G, H, O лежат на одной прямой и
GH  2OG
Доказательство:
1. АВС гомотетичен А1В1С1
А  А1, В  В1 , С  С1 при
Н G1 / 2
2. Соответственные стороны
этих треугольников
параллельны
3. Прямые ОА1, ОВ1, ОС1
содержат высоты А1В1С1 .
Гомотетия сохраняет
величину
угла, высоты AH, BH, CH АВС
указанной гомотетией
отображаются на высоты
ОА1 , ОВ1 , ОС1 , т. H
пересечения
высот АВС переходит в
т. O пересечения высот
А1В1С1 . Поэтому точки H
и O лежат на одной прямой
с центром G гомотетии и
1
GO   GH ,  GH  2OG .
2
Что и требовалось доказать.
1. Анализ теоретического материала по
гомотетии позволил узнать свойства и
область применения гомотетии, а также
помог повысить наш уровень
пространственного воображения и уровень
логической культуры.
2. Решение практических задач показало, что
многие задачи, даже очень сложные, можно
решить с помощью гомотетии, сэкономив при
этом и время, и силы.
3. Мы узнали много нового и интересного,
работая над данной темой. Это
действительно занимательно и
увлекательно. Надеемся, что эта тема
пригодится нам в будущем при участии в
математических олимпиадах и при ЕГЭ
Заключение
«Обладая литературой более
обширной, чем алгебра и арифметика
вместе взятые, и, по крайней мере,
столь же обширной, как анализ,
геометрия в большей степени чем
любой другой раздел математики,
является богатейшей сокровищницей
интереснейших, но полузабытых вещей,
которыми спешащее поколение не
имеет времени насладиться».
Е. Т. Белл.