Толерантная личность. Решение уравнений

Толерантная личность.
Решение уравнений
Зайцева А.В.
Очиченко Л.В.
Цель:
Продемонстрировать толерантность к
народам мира на примере мирового
математического наследия.
Что означает слово толерантность в
буквальном переводе с латинского
языка?
ТЕРПЕНИЕ
Каковы основные черты толерантной личности?
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Расположенность к другим людям
Снисходительность
Терпение
Чувство юмора
Чуткость
Альтруизм
Терпимость к различиям (национализм, религионизм)
Умение владеть собой
Доброжелательность
Умение не осуждать других
Гуманизм
Умение слушать собеседника
Способность к переживанию
Найти стороны поля, имеющего
форму прямоугольника, если его
площадь 12, а 3 длины равны ширине.
4
Пусть
x – длина поля,
3x
Тогда
– его ширина,
4
2
3
x
S=
– площадь.
4
3x 2
Получилось квадратное уравнение
= 12.
4
В папирусе дано правило его решения: Разделим 12 на
3
3
12: =12∙ =16
4
4
x 2 =16.
«Длина поля равна 4» - указано в папирусе.
3
4
Сложив длину и две ширины прямоугольного поля,
получим 14, а площадь поля 24. Найти его
стороны.
x 2  px  q  0
Составим систему уравнений:
72  72
 x  2 y  14,

 xy  24.
24
Из второго уравнения находим у = x и подставляем в первое уравнение.
48
 14
Получаем: x 
x
2
Отсюда получаем квадратное уравнение: x -14х+48= 0
Для его решения прибавим к выражению x 2 -14 некоторое число, чтобы
получить полный квадрат:
x 2  14 x  x 2  2  7  x  x 2  2  7  x  7 2  7 2  ( x  7) 2  49
Получилось квадратное уравнение, которое умели решать
и египтяне.
Не зная отрицательных чисел, древние математики
получали х-7= 1, х=8.
Следовательно у=3, то есть длина поля равна 8, а ширина
равна 3.
2
Вообще же квадратное уравнение  x  7   1 имеет два
корня:
х-7= 1, откуда х=8, у=3;
х-7= -1, откуда х=6, у=4.
Найти два числа, зная,
что их сумма равна 20, а
произведение 96.
Диофа́нт Александри́йский
Из условия задачи вытекает, искомые числа не
равны, так как бы они были равны, то их
произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким
образом, одно из них будет больше половины их
суммы, то есть 10+х, другое же меньше, то есть 10-х.
Разность между ними 2х.
Отсюда уравнение: (10+х)(10-х)= 96
или
2
100 - x = 96,
x 2 - 4= 0.
Отсюда х= 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое
8. решение х= -2 для Диофанта не существует, так как
греческая математика знала только положительные
числа.
Брахмагупта (598—660) — индийский
математик и астроном.
ax  bx  c  0
2
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекались.
Их в квадрат часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
индийский математик XII в. Бхаскара
2
 x
   12  x
8
Бхаскара записывает в виде x  64 x  768 и, чтобы дополнить левую
2
часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 ,
получая
2
x 2  64 x  32 2  768  1024,
x  32 2  256,
x  32  16;16
x1  16,
x 2  48.
Чтобы
решить
уравнение,
Мухаммед аль-Хорезми переносил
члены уравнения из одной части в
другую с противоположным знаком
(эта процедура и называлась «альджебр»), затем приводил подобные
слагаемые («аль-мукабала») и лишь
затем решал уравнение.
Правило Аль-джебр
При решении
уравнения,
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член
отрицательный,
Мы к обеим частям
Равный член придадим,
Только с знаком другим,
И найдем результат
положительный.
Правило Аль-мукабала
Дальше смотрим в
уравненье,
Можно сделать
приведенье,
Если члены есть
подобны,
Сопоставить их удобно.
Вычитая равный член из
них,
К одному приводим их.
1)квадраты равны корням, то есть ax 2  bx
2)квадраты равны числу, то есть
ax 2  c
3)корни равны числу, то есть ах=с
2
ax
 c  bx;
4) квадраты и числа равны корням, то есть
5) квадраты и корни равны числу, то есть ax 2  bx  c
2
6) корни и числа равны квадратам,, то есть bx  c  ax ;
Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти
корень (подразумевается корень уравнения
x 2 +21=10х).
Раздели пополам число корней - получишь 5,
умножь 5 на само себя, от произведения отними
21, останется 4. Извлеки корень из 4 – получишь
2. Отними от 2 5 – получишь 3, это и будет
искомый корень.
(Франсуа Виет)
(Михаил Штифель)
(Леонардо Пизано- Фибоначчи)
x  bx  c - канонический вид
2
3
x x
4
2
4x  4x  3  0
2
D  b 2  4ac
4 2  4  4  ( 3)  64
x1 
b D
2a
x1 
1
2
x2 
b D
2a
x2  - 1
1
2
1. Выделить в квадратном уравнении коэффициенты.
2. Вычислить дискриминант D
D  b 2  4ac
3. Если D>0, то уравнение имеет два действительных корня.
Корни можно вычислить по формуле:
x1, 2 
b D
2a
Если D=0, то уравнение имеет один единственный корень
Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней.
1. Ван дер Варден Б.А.
Пробуждающаясянаука. Математика
древнего Египта, Вавилона и Греции.
[Текст] Б.А. Ван дер Варден - М., ГИФМЛ,
1959. - 462 с.
2. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в
древнем мире. [Текст] М.Я. Выгодский - М.,
Наука, Гл.ред. ФИЗМАТЛИТ, 1967. - 368 с.
3. Гельфман Э.Г. Квадратные уравнения.
[Текст] Э.Г. Гельфман- Москва, 1997. 273с.