Лекции 9 НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ В КОСМОСЕ

Лекции 9
НЕУСТОЙЧИВОСТИ
ПЛАЗМЫ В КОСМОСЕ
Конвективные и абсолютные
неустойчивости
Способы классификации:
1. Неустойчивости пространственно
однородной плазмы и неустойчивости
неоднородной плазмы
2. Электростатические и электромагнитные
3. Классификация по схеме описания
•
•
•
•
МГД или гидромагнитные (идеальные и диссипативные)
дрейфовые (описываются в рамках двухжидкостной
гидродинамики)
кинетические
параметрические
МГД неустойчивости идеально
проводящей плазмы
   div 0ξ  0,
 
1
1
rot (B 0 )B 0   j0B,
  0ξ  p 
4
c

p0
,
P 
0

 B  rot ξB0 ,
ξ(r,t) - бесконечно малое смещение элемента плазмы из
положения равновесия, V   / t
0 , p0 , B0 , j0 - невозмущенные значения плотности,
давления, магнитного поля и тока в плазме
, p, B
- возмущения плотности, давления и
магнитного поля
   0 divξ  ξ0 ,
p  pdivξ  ξp
ξ   k̂ξ
0
1
ˆ
k   p0 divξ  ξp0 
0
1 1
1

B  rot rot ξ  B
  j0  rot ξ  B 
0  c
4

неустойчивости,
связанные с изменением
внутренней тепловой
энергии плазмы
неустойчивости,
связанные с изменением
магнитной энергии
плазмы
1 ˆ
U   ξ k ξdr
2
Если U>0 для всех ξ ≠ 0, то отклонения от положения
равновесия не могут нарастать со временем и плазма
магнитогидродинамически устойчива. Если U<0 (может
принимать отрицательные значения), то система
неустойчива.
~exp(iωt)
 ξ  k̂ξ
2
 
2
ˆξdr
ξ
k

апериодическая неустойчивость
 ξ dr
2
Неустойчивость Релея-Тейлора
dp0
 0 g
dx
 divξ  0,
 
  0ξ  p.
ξ ( x, y, t )  ξ ( x) exp( it  iky)
p  ~
p ( x) exp( it  iky)
 dξ x
 dx  ikξ y  0,
~

~
d

p
2
,
   0  x  
dx

2~
~






ik

p,

0
y

~
d ξx
2~
 k x  0
2
dx
~
 x   x0 exp (  kx)
2
  kg
dp
p   x
  0 g x
dx
2

V
g
||
2
 V2 / 2 
R

( P||  P )
R
выпуклая граница плазмы будет неустойчивой
Баллонная мода
β=8πp/B² >1
Желобковая (перестановочная или
конвективная) неустойчивость
β=8πp/B² <<1
W 
dl
B
(-pW) – играет роль потенциальной эергии
dp=-γpδW/W
Критерий неустойчивости:
dp
p(W  W )  p 
dW
dW
dp
p

dW
W
Устойчивое распределение возможно в магнитных
ловушках с min В
Винтовая неустойчивость
Ψ~exp[i(mφ-kz)]
Критерий Крускала-Шафранова
а – радиус пинча, L – длина шнура
2a

Bz
L
B
Шир в плазме
j0 B0  0
Мера шира - угол
поворота силовой
линии на длине
неоднородности
плазмы
4 Lj0 B0

2
c B0
Диссипативные неустойчивости и тиринг-мода
 
возможность распространения косых возмущений с
конечным
kz
Гравитационная
  is    0
E  
2
s  B B  k / k
i
При
s  0
e
2
ei z
2
y
2
g
g2   gn01dn / dx
  g
При Be ei  1 s   g
  i  g2 / s  g
Токово-конвективная
Если в равновесном состояний по плазме течёт ток вдоль
магнитного поля, и в направлении, перпендикулярном B0,
существует градиент температуры
Главную роль играют не возмущения плотности, а
возмущения температуры и электропроводности
cE 0 ky 1 d 0
 
B 0 kz  0 dx
Тиринг - мода
Любая диссипация энергии тиринг - моды должна приводить
к увеличению её амплитуды.
В плазме со столкновениями
 
В бесстолкновительной плазме - черенковское
взаидствие частиц с волнами вблизи узкой окрестности
плоскости x = 0 при выполнении условия резонанса
  kv
z  rB L 
~
A1 y ( x, z, t )  A1 ( z ) exp( it  ikx)
1/ 2
 2 A1 y
z 2

4π  j0
 k A1 y   
A1 y  j 1 
c  A0

2
A1 y j 0 / A0 - адиабатическая часть возмущения тока в слое,
j1 – неадиабатическая
j0 ( z )  cB0 / 4Lch 2 ( z / L) - распределение Харриса
j0 / A0  2 j0 / B0 L
~
 ~  4 ~
 A1  2
2
  k  2 2
 A1  c j1
2
z
L ch ( z / L) 

2
~
j1 ( x, z, t )  j1 ( x) exp( it  ikx)
V0(z) = -2/L2ch2(z/L) —
потенциальная яма Теллера
V1e определяется черенковским взаимодействием в узком слое
2
Bn B0  rBe L
Если
, то электроны замагничены, и
диссипация энергии тиринг - моды происходит в результате
черенковского взаимодействия с ионами, развивается ионная
тиринг - мода.
Дрейфовые неустойчивости
Единственным условием раскачки является неоднородность
распределения плотности или температуры, поэтому для
таких неустойчивостей применяется термин универсальные.
Электростатическая дрейфовую неустойчивость
Т = const, n0 = n0(х), B0= const

j

me
en
0  p e  enE  Ve , B 0  
с
с  ei


mi ndVi / dt  p  j, B 0  / c
n / t  div (nV )  0
i

div j  0
E  
Vi  cB 0 ,   / B02
exp i (t  k y y  k z z ),
(n  n0  n1 , p  p0  p1 , Vi 0  0, Vi1  Vi )
s  k Be Bi ei k
2
z
2
y
*   k y cTe (n dn0 / dx) eB0
1
0
  is  is*  0.
2
 s  *
  ( s * )1 / 2 ,
Температурно – дрейфовая неустойчивость
В столкновительной плазме она имеет место, если
  d ln T / d ln n  2 / 3
В бесстолкновительной
  n B
i
2
k y rBi  1
 1
k y rBi  1
дрейфово - циклотронные неустойчивости
Гидродинамические неустойчивости
однородной плазмы
Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца
E  
n
 div (nV )  0
t
V
e
 (V)V   
t
m
  4e(n  n0 )
n  n0  n1
V  V0  V1
n1  n0
exp( i (t  k y y  k z z )),
in1  ik zV0 n1  ik zV1 y n0 
i (  V0 k z )V1 x  
i (  V0 k z )V1 y  i

(n0V1x )  0,
x
e 
m x
e
Vy
m
dV0
e
i(  V0 k z )V1z  V1x
 i k z ,
dx
m
 2
2
2

(
k

k
y
z )  4en1
2
x
V1  V0
   
2
2


(
k

k
) 0  0
 0

z
y
x  x 
V1 , x  0
V0 ( x)  
V2 , x  0
0  1
 p2
(  k zV0 )
2
.
 ( x)   0 exp(   x ),
  (k y2  k z2 )1 / 2

χα<<1
  
0
  0  0 ( )   0 ( )
 x  
 p2
 p2
2

 0.
2
2
(  k zV1 )
(  k zV2 )
Неустойчивость возникает, если
 max  2  p
1/ 2
если
k z  2 p / V2  V1 .
k z  (3 / 2)1 / 2  p / V2  V1 .
Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца на границе
магнитосферы Земли
Шланговая неустойчивость
Найдем порог и инкремент в
приближении ЧуГольдбергера-Лоу
dV
1

 div P 
[rotB  B],
dt
4
h  B/ B
P  p I  ( pII  p )h
divP  p  ( pII  p )(h)h  divh( pII  p )
I-единичный тензор
2
2


k
B
2
    p  pII 
0  4

Гидродинамическая пучковая неустойчивость
V0 / V0   1 / 3
n1=n0,
V0
Пренебрегая ионным вкладом
B0=0
  1
2
 pe

2

2
 pe
(  k II V0 )
2
0
При kII>>pe/V0 все решения дисперсионного уравнения
вещественны. Неустойчивость начинается при kII<kгр
На границе устойчивости
 0  гр , k гр   0;
k гр 
  0 
0


    гр ,k II kгр
 pe
V0
1   
 гр   pe 1  
При kIIV0=pe
1/ 3 3 / 2

1/ 3 1/ 2
 max   pe 3 2
1/ 2
4 / 3
Приближение применимо при малом тепловом разбросе пучка
V0   / k II
V0 / V0   1 / 3

1/ 3
Бунемановская неустойчивость
B0 =0 или V0 II B0
B0 =0
 pi2
  1 2 

2
 pe

0
2
(  k IIV0 )
Максимальный
инкремент достигается
при kII = ω/ V0
 max  (3
1/ 2
/2
4/3
)

2/3
Pi
1/ 3
Pe
Кинетические неустойчивости
 f 0   k IIVII f 0 
4e 
 
 ij  i  
dV k II

2 
V
V 
 n   m  
 VII

2

 ij( n ) (V ) (  k IIVII  nB )dV

n 2B2 2

Jn
2

k

nB
(n)
ij (V )    iV
J n J n
k


nB 2
Jn
 VII
k

iV
nB
k
J n J n
V2 J n2
iVIIV J n J n
nB

VII
J 

k

 iVIIV J n J n 


2 2
VII J n


2
n
Выделяют пучковые, токовые и анизотропные
Аналитическое рассмотрение:
f0~exp[-m(V-V0)2/2T ]
 mV2 mVII2 
1
 m

f0  
exp  


1/ 2
2TII 
 2  TTII
 2T
2
1
f0 
 (V  V0 ) (VII )
2V
Пучковая неустойчивость
3
Pe
f

2n0 k 2 v
fe ~ αn0/(ΔV0)2
v  Pe / k
   Pe V0 / V0 
2
Ионно-звуковая неустойчивость
В0 = 0 и Тi<<Те
V0=-j/en0


  mi / 8Te  V0 cos   
k

ω=k(Te/mi)l/2 , θ - угол между V0 и к
Анизотропные неустойчивости
β = 8πp/B02
Критерий неустойчивости
Для обыкновенной волны
T  B  T
1  


  TII
TII
T T
e

e
II

  0

Ti  TIIi
Для необыкновенной волны - при обратном соотношении
между температурами
Параметрические неустойчивости
Условия распада
0  1   2

k 0  k 1  k 2
В плазме без магнитного поля существуют
электромагнитная ( t ), электронная плазменная ( l ) и
ионно - звуковая ( s ) ветви колебаний
t  t  l t  t  s l  l  s
t  l  l t  s  l
Пусть ω(k)=kVф+α(k)
 2U
 2U
2
 Vф 1   cos( 0 t  k 0 x) 2  ˆU  0
2
t
x
(обобщение на волновую среду уравнения Матье)
U k   U exp( ikx)dx
cos(ω0t-k0x)=1/2[exp(i(ω0t-k0x))+exp(-i(ω0t-k0x))]
 2U k
 2
2
2
*


U


V
(
k

k
)
exp(

i

t
)
U
k
k
ф
0
0
k0  k 
2
t
2

 Vф (k0  k ) 2 exp( i0t )U k0  k
2
2
Вынуждающая сила будет в резонансе с собственной
частотой осциллятора, если ω0±ωkо-k=ωk
 2U k0 k
t 2


  k20 kU k0 k   Vф k 2 exp( i0 t )U k  Vф (2k 0  k ) 2 exp( i0 t )U 2*k0 k
2
2
ω0=ωko-к+ωк
2
2
к1=к, к2=к0-к, ωк=ω1 и ωko-к=ω2
  2U k1
 2 2
2
*
 2  1 U k1   Vф k 2 exp( i 0 t )U k2
2
t
 2 *
  U k2   2U *    V 2 k 2 exp( i t )U
2
k2
ф
1
0
k1
 t 2
2

~
~
U ki  U i (t ) exp  i kit

~

U1
 2 2
~*

2
i



V
k
exp(

i


t
)
U

1
ф 2
0
1
2

t
2


~

U

  2i2 22   Vф2 k12 exp( i0t )U1
t
2

Δω=ω0-ω1-ω2
~
 

U 1 ~ exp  i
t  t 
2


~
 

U 2 ~ exp i
t  t 
 2

  ( 2   / 4)1 / 2
2 
 2 k12 k 22Vф4
1612 22