Глава 2 Дифракционные явления в свободном пространстве

Глава 2
Дифракционные явления в
свободном пространстве
Оптические системы обработки изображений получили широкое
распространение после изобретения в начале 60-х годов прошлого
века источников когерентного света – лазеров. Обработка
изображений в таких системах основана на возможности
реализации в них различных математических преобразований и
операций над изображениями, в частности, преобразования
Фурье. При изложении основ вычислительной оптики мы будем
использовать радиооптический подход. Этот подход основан на
применении хорошо разработанного математического аппарата
теории колебаний для объяснения другого круга вопросов волновых явлений. В данном разделе мы используем
радиооптический подход при рассмотрении распространения
света в свободном пространстве.
2.1. Построение общего решения волнового уравнения
В скалярной теории дифракции имеют дело с решением скалярного волнового уравнения

1  U (r , t )

2
 U (r , t )  2
c
 t 2
2
(2.1)
U (r , t ) - скалярное волновое поле (или одна из составляющих
где  2 - оператор Лапласа;

векторного поля); r - координата; t - время; c - скорость света. Для монохроматического света
частное решение волнового уравнения ищем в виде


(2.2)
U (r , t )  a(r ) exp(i t )
где a(r ) - независящая от времени амплитуда,  - частота. Подставляя (2.2) в (2.1), получаем

(2.3)
( 2  k 2 )a(r )  0

т.е. комплексная амплитуда a(r ) удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Константа k в
уравнении (2.3), называемая волновым числом, связана с длиной волны света  в свободном
пространстве соотношением
k  2 /    / c
(2.4)
Простое нетривиальное решение уравнения (2.3)
(2.5)



ar   b exp( i 0 ) exp( ik r )  b exp( i 0 ) exp[ i(k x x  k y y  k z z )]

где b- амплитуда,  0 - фаза комплексной амплитуды ar  , а k x , k y , k z - проекции волнового
вектора на оси координат. Это решение (его реальная часть) представляет собой плоскую 
монохроматическую волну, распространяющуюся в направлении, определяемом вектором k .
В общем случае направление распространения определяется двумя углами  и  0 . Если эти
углы выбраны по отношению к прямоугольной системе координат  x, y, z  , как показано на
рис.2.1(см. следующий слайд), то
u1  k x  k sin  , u2  k y  k cos sin  , k z  k cos cos .
Выражая k z через (u1 ,u2 ), получаем
k z   k 2  u1  u 2
2
2
(2.6)
(2.7)
Подставляя (2.6), (2.7) в (2.5), находим


a x, y, z   b exp i 0 exp  iz k 2  u1  u 2 exp iu1 x  u 2 y 
2
2
(2.8)
Воспользуемся частным решением (2.8) уравнения (2.3) для построения общего решения
уравнения Гельмгольца.
x
kx
r
k

kz
ky
z

y
Рис.2.1. К выбору системы координат в свободном пространстве
Поскольку уравнение (2.3) линейно, то его решение будет суммой полей вида (2.8). Такое
решение можно записать в виде интеграла от (2.8) по независимым параметрам плоских волн,
которыми являются их амплитуды, фазы и направления распространения. Интеграл имеет вид
P  x, y , z  
1
 

2
2
2
 g (u1 , u 2 ) exp (iz k  u1  u 2 ) 
4 2  
 exp[i (u1 x + u 2 y )]du1du2 ,
(2.9)
где g u1 , u 2  - комплексная функция, которая описывает амплитуду и фазу отдельной плоской
волны с направлением распространения, определяемым совокупностью действительных
переменных (u1 , u 2 ), называемых пространственными частотами. Здесь и далее, где не
оговорено особо, интегрирование осуществляется в пределах от  до  .
Пусть в плоскости z  0 заданы значения волнового поля p  x, y, z  , т.е. его комплексная
амплитуда. Тогда,
1  
(2.10)
px, y,0   2   g u1 , u 2 expiu1 x  u 2 y du1du2
4  
Выражение (2.10) представляет собой интеграл Фурье. Обратное преобразование Фурье
позволяет найти функцию g u1 , u 2 
g u1 , u 2  
 
  px, y,0exp iu1 x  u2 y dxdy
(2.11)
Решение (2.9) остается двузначным, поскольку можно выбрать любой из двух знаков перед
координатой z . При z  0 затухающие по физическому смыслу неоднородные волны, для
2
2
которых u1  u 2  k 2 , получаются, если выбираем в (2.9) перед z знак "+".
 
В одномерном случае функция g u1 , u 2  определяется соотношением
g (u ) 

 p( x, y,0) exp(iux)dx,
(2.12)

и, соответственно,
1
p ( x, z ) 
2

2
2
g
(
u
)
exp(
iz
k

u
) exp(iux)du, (2.13)


В качестве важного частного случая разложения (2.9) рассмотрим разложение сферической
волны по плоским волнам. Комплексная амплитуда сферической волны
(2.14)
p x, y, z   exp ikR  R
2
2
2
где R  x  y  z . Очевидно, что px, y,0  exp ikr  r , где r  x 2  y 2 . Функцию g (u1 , u 2 )
найдем, используя преобразование Фурье – Бесселя

g (u )  2  exp(ikr ) I 0 (ur) dr
(2.15)
0
2
2
где u  u1  u 2 . Известно, что такой интеграл равен
g u1 , u 2   2 i
Подставляя (2.16) в (2.9), получаем
i
exp (ikR )/R 
2
2
(2.16)
2
k 2  u1  u 2 .
exp[i (u1 x  u 2 y  z k 2  u1  u 2 )]
du1du2 .
 
2
2
2
 
k  u1  u 2
 
2
2
(2.17)
2.1. Частотная характеристика и отклик свободного пространства
Аналогия между колебательными и волновыми процессами основывается на том, что как те,
так и другие описываются линейными дифференциальными уравнениями и совершаются в так
называемых "линейных системах". Реакция линейной системы y t  на некоторое входное
воздействие xt  выражается либо как
1 
yt  
 C x ( ) H ( ) exp(it )d ,
2 
(2.18)
либо как

yt    xt ht  t dt  ,
(2.19)

где C x   - спектр входного воздействия, определяемый выражением
C x   

 xt exp i t dt
,
(2.20)

1
x(t ) 
2

 C x ( ) exp(it )d
,
(2.21)

H ( ), h(t ), соответственно, частотная и импульсная характеристики линейной системы, которые
связаны между собой парой преобразования Фурье:
1
h(t ) 
2

 H ( ) exp(it )d

,
(2.22)

(2.23)
H (i )   h(t ) exp(it )dt ,

Запишем рядом выражения (2.13) и (2.18)
1 
p ( x, z ) 
g (u ) exp(iz k 2  u 2 ) exp(iux)du,

2 
1 
y (t ) 
C x ( ) H (i ) exp(i t )d ,

2 
Сравнивая эти выражения, приходим к выводу, что функция


(2.24)
H u   exp iz k 2  u 2
является аналогом функцииH   - частотной характеристики линейной системы. Тогда задачу о
преобразовании поля свободным пространством можно представить в виде блок-схемы
линейной системы, изображенной на рис.2.2.
p( x ,0)
H ( u)
h( x )
Вход
p( x, z)
Выход
Рис.2.2. Блок-схема линейной системы
Двумерной частотной характеристикой свободного пространства является функция
2
2
(2.25)
H u1 , u 2   exp iz k 2  u1  u 2
Вычислим импульсную характеристику свободного пространства осуществляя обратное
преобразование Фурье от обеих частей выражения (2.25). Производя расчеты, получаем


h x, y  
 
1
  exp(iz
4  
2
2
2
k 2  u1  u 2 ) exp[i(u1 x + u 2 y )]du1du2
(2.26)
Дифференцируя по z выражение (2.17) и сравнивая его с выражением (2.26), получаем
1   e i kR  1 exp ikR   R 1 exp ikR   R

  ik
h ( x, y ) 

.
2
2  z  R  2
R
 z 2 R
z
(2.27)
2.3. Решение дифракционных задач. Приближение Кирхгофа
Практически наиболее часто встречаются дифракционные задачи, которые формулируются
следующим образом. В поле волны (обычно плоской или сферической) помещено некоторое
препятствие, геометрические параметры которого (форма, размеры и т.д.) и электрические свойства
материала (поглощающий, прозрачный с определенным показателем преломления и т.д.) известны.
Требуется определить поле, которое получится на большом расстоянии (по сравнению с длиной
волны) от этого препятствия.
В качестве примера две типичные дифракционные задачи изображены на рис. 2.3. На рис.2.3, а
показан непрозрачный экран с отверстием, на который падает плоская волна. Требуется определить
поле в пространстве за экраном в зависимости от расстояния до него, формы и величины отверстия.
На рис. 2.3, б изображено некоторое прозрачное тело, отличающееся от окружающей среды
показателем преломления. Требуется определить поле, которое будет в пространстве, если это тело
внесено в поле первоначально плоской волны.
а)
б)
При решении дифракционных задач пользуются приближениями Кирхгофа, которые
состоят в том, что поле на препятствии считается равным нулю, а вне препятствия таким же, как и в отсутствии препятствия вообще. Пользуясь таким условием, можно
легко находить поля в плоскостях различных экранов, щелей, решеток и других
аналогичных препятствий. Если изучается дифракция на структуре, изменяющей не
амплитуду, а фазу волны, как на рис.2.3,б, то изменение фазы внутри структуры
находится интегрированием фазового набега внутри фазового экрана вдоль траекторий
лучей, рассчитанных по законам геометрической оптики.
Применение вышеизложенных соображений для решения дифракционных задач
производится следующим образом. На возможно близком расстоянии к препятствию со
стороны прошедшей волны проводится плоскость. На этой плоскости, пользуясь
приближениями Кирхгофа, находится поле волны, искаженное препятствием. Эта
плоскость затем принимается за плоскость . Далее, воспользовавшись выражением
(2.13), можно решить дифракционную задачу, т.е. найти поле при любом . Полученное
решение оказывается приближенным, несмотря на то, что формула (2.13) является
вполне строгой и точной. Приближение состоит в замене реального поля в плоскости
его приближенным выражением по правилу Кирхгофа.
Приближение Кирхгофа является весьма грубым. Оно должно описывать волновое поле,
которое обязано удовлетворять волновому уравнению. Поле, получающееся согласно
простому правилу Кирхгофа, волновому уравнению не удовлетворяет и, следовательно,
не может соответствовать реальному волновому полю. Однако, для полей на достаточно
большом расстоянии от препятствия получающиеся результаты всегда находятся в
удовлетворительном согласии с экспериментом. Строгие решения дифракционных задач
совпадают с решениями, полученными в приближение Кирхгофа в случае больших
расстояний. Естественно поставить вопрос, почему заведомо неправильные предпосылки
приводят в данном случае к правильным результатам.
Прежде чем ответить на этот вопрос, попробуем представить себе, в чем состоит
основная проблема, и что дает соотношение (2.13). Ясно, что это соотношение позволяет
точно найти поле при любом Z по известному полю при каком-либо значении Z.
Наличие простого и точного соотношения (2.13) делает для нас все сечения поля
равноправными - из них никакое не хуже и не лучше другого. Поэтому нахождение
точного значения поля сразу за препятствием нисколько не проще нахождения
точного значения на сколь угодно большом расстоянии от него.
В то же время на вопрос о том, каково же поле в каком-либо сечении, соотношение
(2.13) никакого ответа не дает. Таким образом, проблема заключается не в
нахождении поля в зависимости от расстояния Z, а в нахождении правильного
значения поля на каком-то произвольном расстоянии (совсем не обязательно сразу
за препятствием).
Точно решить такую задачу очень трудно. Однако грубое приближение Кирхгофа
все же дает в соединении с процедурой нахождения полей в зависимости от
расстояния по формуле (2.13) приближенно правильный результат. Это
объясняется, как будет показано ниже, фильтрующим свойством преобразования
(2.13). "Фильтр", действующий по формуле (2.13), пропускает не все
пространственные частоты, а только частоты, попадающие в некоторую узкую
полосу. Это свойство проявляется тем сильнее, чем большее расстояние проходит
волна после препятствия (фильтр получается с более крутым фронтом при
увеличении расстояния Z). С помощью приближения Кирхгофа задаются значения
полей на входе фильтра, а по формуле (2.13) вычисляются значения на его
выходе. При этом оказывается, что существенные отличия приближения Кирхгофа
от истинных значений полей приходятся на ту область пространственных частот,
которую фильтр не пропускает. Этим объясняется регуляризирующее действие
процедуры нахождения поля на большом расстоянии Z. Таким образом, имеют
место два эффекта: во-первых, отсекаются те частоты в исходном поле, где оно
явно не соответствует действительности, и, во-вторых, в той области частот, где
приближение оказывается приемлемым, происходит преобразование поля в
соответствии со значением расстояния Z.
2.4 Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера
Пусть пространственный период наименьших неоднородностей на препятствии ( в плоскости
Z=0), освещаемого плоской монохроматической волной света, намного превосходит длину
2
2
волны света. В этом случае выполняется условие u1  u 2  k 2 . Разлагая k 2  u12  u 2 2 в ряд
Тейлора, получаем
k  u1  u 2
2
2
2

 1u 2 u 2 u 2 u 2
2
 k 1  1 2 2  1
4
 2 k
8k


2

 .... .


(2.28)
Ограничиваясь двумя первыми членами ряда при выполнении условия
z (u1  u 2 ) 2 8k 3  
2
2
(2.29)
получаем следующее выражение для частотной характеристики (приближение Френеля)

 iz 2
2
H u1 , u 2   expikz exp 
u1  u 2
 2k
 .
(2.30)
Осуществляя обратное преобразование Фурье от функции H u1 , u 2 , находим импульсную
характеристику свободного пространства в приближении Френеля
exp ikz 
 ik 2

(2.31)
h x, y  
exp
x  y 2 .
i z
 2z




Если известна комплексная амплитуда поля в плоскости Z=0, т.е. функция p x, y,0 , то поле
p  x, y, z  в плоскости z в приближении Френеля, исходя из выражения (2.31), можно записать в
виде
p ( x, y , z ) 
expikz   ik 2

exp  x  y 2  
i z
 2z

 ik 2
 2
  
2 








p
(
x
,
y
,
0
)
exp
x

y
exp

i
x
x

y
y

 2 z
   z
 dx dy
 
 
(2.32)
►
►
Таким образом, с точностью до амплитудно-фазового множителя, функцию p( x, y, z ) можно
найти как фурье-образ функции
 ik

p( x, y,0) exp  ( x 2  y 2 )
 2z

f
на частотах f x  x  z , f y  y  z . Частоты x и f y связаны с частотами (u1 ,u2 ) через
соотношения u1  2f x , u 2  2f y .
При достаточно больших z условие (2.29) не выполняется. Рассмотрим выражение для
импульсной характеристики свободного пространства (2.27) при выполнении следующих
условий:
k >> 1/R, R  
z  r , dR
dz
 z
x2  y2  z 2
1
В этом случае вторым слагаемым в (2.27) можно пренебречь. Тогда
h ( x, y ) =
1 exp(ikR )
i
R
(2.23)
а выражение для поля можно записать в виде
1  
p  x, y , z  
  p( x1 , y1 ,0) exp(ikR )/R dx1dy1 ,
i  
(2.24)
2
2
2
где R  ( x  x1 )  ( y  y1 )  z . Такое приближение называется приближением ГюйгенсаФренеля. Таким образом, поле в приближении Гюйгенса – Френеля может быть представлено в
виде суперпозиции сферических волн, излучаемых точечными источниками света,
расположенными в плоскости z=0. Амплитуды и фазы волн определяются входным
распределением p x, y,0  .
Вычислим частотную характеристику свободного пространства в приближении Гюйгенса –
Френеля. Осуществляя преобразование Фурье от обеих частей равенства (2.33) и используя
формулу разложения сферической волны по плоским волнам, получаем:
1  
H u1 , u 2  
  exp(ikR)/R exp[i(u1 x  u2 y)] dxdy 
i  
1  

dv1dv2 exp (iz k 2  v12  v22 )/ k 2  v12  v22 


2  

 
  exp[i[(v1  u1 ) x  (v2  u2 ) y]]dxdy

 
4 2

exp (iz k 2  v12  v22 )/ k 2  v12  v22  (u1  v1 , u2  v2 )dv1dv2 


2 
 k exp(iz k 2  u12  u22 )/ k 2  u12  u22
(2.35)
При u12  u22  k 2 , (2.35) совпадает с точным выражением для частотной характеристики
свободного пространства.
2
2
2
2
2
2
В приближении Гюйгенса-Френеля выполняется условие x  y  z . Разлагая z  x  y
в ряд Тейлора, получаем
2
2
2
2 2




x

y
x

y
2
2
2
k z  x  y  kz 1 

 .... .
2
4


2z
8z


(2.36)
Ограничиваясь двумя первыми членами ряда при выполнении условия
(2.37)
z ( x 2  y 2 ) 2 8k 3  
получаем следующее выражение для импульсной характеристики (приближение ГюйгенсаФренеля)
h x, y  
exp ikz 
 ik

exp x 2  y 2 .
i z
 2z

(2.38)
Выражение (2.38) совпадает с выражением (2.31), а значит и частотная характеристика
свободного пространства при больших z имеет вид (2.30).
Расчет дифракционной картины становится еще проще, если принять условие Фраунгофера
z  k x 2  y 2  2 .
(2.39)
В области дифракции Фраунгофера
p  x, y , z  
exp ikz 
 ik
x 2  y 2  
exp 
i z
 z

2

 xx   yy  dx dy 
   p x , y ,0  exp  i
z


  
 
(2.40)
С точностью до множителей, стоящих перед интегралом, это выражение представляет собой
фурье-образ распределения комплексных амплитуд поля в плоскости z=0, вычисленный на
частотах u1  2 x  z , u 2  2 y  z .
Отметим также, что физические приборы регистрируют не комплексную амплитуду p  x, y, z  , а
2
интенсивность света I x, y, z   px, y, z  , т.е. в случае, например, дифракции Фраунгофера
регистрируемой величиной является спектр мощности
1
I x, y, z   2 2
 z
2
 2





p
x
,
y
,
0
exp
 
 i  z xx  yy  dxdy  . (2.41)
 
 
Далее приводятся примеры дифракционных картин Френеля и Фраунгофера от некоторых
тестовых структур (см. Приложение к лекции 2).