Б3.В.27 Числовые системы

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по дисциплине (модулю):
Общие сведения
1.
Кафедра
2.
Направление подготовки
3.
4.
Дисциплина
Тип заданий
Количество этапов формирования компетенций
(ДЕ, разделов, тем и т.д.)
5.
Математики и математических методов в
экономике
050100 «Педагогическое образование»,
профиль «Математика, информатика»
Б.3.В.27 Числовые системы
Контрольная работа
6
Перечень компетенций
ОК-1: владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения
ОК-6: способность логически верно выстраивать устную и письменную речь
ОПК-3: владением основами речевой профессиональной культуры
Критерии и показатели оценивания компетенций
Знания: основные способы построения числовых систем с полным их обоснованием,
понимать различие интуитивного школьного построения чисел от строгого
аксиоматического построения.
Умения: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески
подходить к решению профессиональных задач, ориентироваться в нестандартных условиях
и ситуациях, анализировать возникающие проблемы.
Навыки: Владение основными методами изучаемой дмсциплины, умение применять их для
доказательства теорем и решения задач.
Опыт деятельности: в результате освоения дисциплины студент должен приобрести опыт,
позволяющий, опираясь на традиционные подходы, получать положительные результаты,
отвечающие современным требованиям.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Этапы формирования компетенций
Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Действительные числа
Комплексные, дуальные, р-адические числа
Линейные алгебры над полями. Теорема Фробениуса.
Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл)
«2» – 60% и менее
«3» – 61-80%
«4» – 81-90%
Типовое контрольное задание (с решениями)
«Натуральные числа»
n 2
№1. Доказать, что (11
 12 2 n1 )133 .
«5» – 91-100%
Решение. При n  1 имеем: 11  12  (11  12)(11  11 * 12  12 )  23 * 133 .
3
3
2
2
Но 23 * 133133 , а это означает истинность нашего утверждения при n  1 . Предположим,
k 2
что это утверждение истинно при n  k , т.е. что (11
оно
будет
истинно
и
при
n  k  1, т.е. что
 12 2 k 1 )133 . Докажем, что тогда
(11( k 1) 2  12 2( k 1)1 )133 , или
(11k 3  12 2 k 3 )133 .
k 3
Действительно, (11
 12 2 k 3 )  11 * 11k 1  12 2 * 12 2 k 1 
 11 * 11k 1  11 * 12 2 k 1  133 * 12 2 k 1  11 * (112 k  2  12 2 k 1 )  133 * 12 2 k 1 .
Полученная сумма делится на 133, т.е. утверждение истинна и при n  k  1. По принципу
математической индукции наше утверждение доказано для всех n  
№2. Рассмотрим такое число как 6174. Оно обладает очень интересным свойством и
является постоянной Кеплера. Выберите любое четырехзначное число, в котором не все
цифры одинаковые. Расположите цифры сначала в порядке убывания, затем, переставив их
в обратном порядке, образуйте новое число. Вычесть новое число из старого. Повторяя
этот процесс с получающимися разностями (не более чем за семь шагов) получим число
6174 , которое будет затем воспроизводить самого себя. Производя вычитания нули следует
сохранять.
1) Рассмотрим число 3241, произведем необходимые операции
4321 - 1234 = 3087, 8730 - 0378 = 8352, 8532 - 2358 = 6174.
2) Рассмотрим число 1010, произведем необходимые операции 1100 - 11 = 1089, 9810 - 189
= 9621, 9621 - 1269 = 8352 , 8532 - 2358 = 6174.
№3. Рассмотрим число 145. Возьмем теперь любое натуральное число и вычислим сумму
квадратов цифр. С полученным числом повторим операцию. Будем поступать таким же
образом
и
далее.
Тогда, если процесс не приведет к единице, то получим число 145 , после которого
появляется цикл: 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89.
1118 67 85 89 145; 1118 68 100 1; 123
14
17
50
25
29
85
89 145.
Примечание: Учитывая, что число 145 не переходит само в себя, а порождает цикл,
приводящий к 145, корректнее было бы говорить про набор интересных чисел,
обладающих вышеописанными свойствами: 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89 .
№4. А что, если вместо суммы квадратов вычислять сумму кубов цифр числа?
Оказывается, "орбиты" получаются гораздо интереснее. Некоторые числа "вырождаются"
- приходят к единице. Другие - "стабилизируются": через несколько шагов цепочка
приводит к одному из чисел 153, 370, 371 или 407 . Эти четыре числа обладают
замечательным свойством: они равны сумме кубов своих цифр. Наконец, возможны и
другие варианты концовки: например, есть цикл из двух чисел 919, 1459, 919.
( 93=729 )
Числа 153, 370, 371 и 407 имеют специальное название - числа Армстронга (в честь
математика, который их впервые исследовал). Строгое математическое определение
таково: n-значное число называется числом Армстронга, если оно равно сумме n-ых
степеней своих цифр.
Возьмем любое целое число и прибавим к нему сумму его цифр.
Например: 47 + 4 + 7 = 58. Таким образом, число 58 - порожденное число
47 - генератор порожденного числа. Порожденное число может иметь более одного
генератора.
Наименьшее число, имеющее более одного генератора - 101:
101 = 91 + 9 + 1 = 100 + 1
Наименьшее число, имеющее три генератора - 10 000 000 000 001 . Оно порождено
2
числами:10 000 000 000 000, 9 999 999 999 901, 9 999 999 999 892.
Самопорожденное число - это число, у которого нет генератора. Существует бесконечно
много самопорожденных чисел. В пределах превой сотни их - тринадцать: 1, 3, 5, 7, 9, 20,
31, 42, 53, 64, 75, 86 и 97 .
Простые самопорожденные числа называются самопростыми.
Самопорожденные числа: 11 111 111 111 111 111 111 и 3 333 333 333.
Интересно, что
10 порождено числом 5
100 порождено числом 86
1 000 порождено числом 977
10 000 порождено числом 9 968
100 000 порождено числом 99 959
1 000 000 - самопорожденное число. Следующее самопорожденное число, являющееся
степенью 10 - это число 1016 .
Циклическое число 142857.
При умножении числа 142857 на числа от 1 до 6 получается произведение, записанное
теми же цифрами, переставленными в циклическом порядке:
142857*1 = 142857;
142857*2 = 285714;
142857*3 = 428571;
142857*4 = 571428;
142857*5 = 714285;
142857*6 = 857142.
Что интересно, если умножить 142857 на 7, то получится число 999999.
Число 142857 совпадает с периодически повторяющейся последовательностью цифр,
стоящих в дробной части числа 1/7, записанного в десятичной форме.
Число 45.
Число 45 можно представить как сумму совершенно не целых слагаемых:
tg 1o + tg 5o + tg 9o + ... + tg 177o = 45
Заметьте, что слагаемых в этой сумме также ровно 45.
Красивые примеры умножения
1) 12345679*9 = 111111111
2) 12345679*8 = 98765432
Вот более полезный пример, когда умножив на единицу, можно очень изящно доказать,
что сумма степеней двойки до 2 n включительно есть
n+1
2 - 1: 1+2+22+...+2n=(1+2+22+...+2n)*(2-1)=2+22+23...+ 2 n+1 -(1+2+22 + ... + 2n)=2n+1 -1.
Число, первая цифра которого показывает, сколько в этом числе единиц, вторая - сколько
в нем двоек, третья - сколько троек, ..., десятая - сколько нулей: 2100010006
Число, первая цифра которого показывает, сколько в этом числе нулей, вторая - сколько
в нем единиц, третья - сколько двоек и т.д.: 6210001000
«Целые числа»
Интересные квадраты
1132=12769
1122=12544
1222=14884
12122=1468944
11122=1236544
96721=3112
44521=2112
48841=2212
4498641=21212
4456321=21112
Числа Смита.
3
Число называется числом Смита, если сумма цифр числа равна сумме цифр разложения
этого числа на простые множители.
Например: Число 4937775 – число Смита
4937775
= 3 * 5 * 5 * 65837
Сумма цифр числа - 42
Сумма цифр произведения - 42
Числа Смита: 4, 22, 27 и многие другие являются числами Смита. На интервале
(0,10 000) - 376 чисел Смита. На интервале (0, 100 000) - около 3300 чисел Смита. На
интервале
(0,
1 000 000)
29928
чисел
Смита
Число чисел Смита бесконечно. Наибольшее известное число Смита имеет 10694985 знаков
в своей записи в десятичной системе счисления.
Известно также родственное понятию числа Смита, понятие Братья Смита - это числа
Смита стоящие рядом друг с другом. Например, (728; 729) или (2964; 2965). Однако
неизвестно сколько существует таких пар.
Любое нечетное число можно представить в виде разности квадратов двух чисел.
Например:
23 = 144 -121
25 = 169 -144
27 = 196 - 169
Любое натуральное число, кратное 4, можно представить в виде разности квадратов
двух чисел.
Например:
44 = 144 – 100
40 = 121 – 81
36 = 100 - 64
Любое натуральное число, дающее в остатке 1 при делении на 4, можно представить в
виде суммы двух квадратов.
Например:
45 = 36 + 9
41 = 25 + 16
37 = 36 + 1
Если сумма двух целых чисел - число, оканчивающееся нулем, то квадраты этих чисел
оканчиваются одной и той же цифрой.
Например:
4 + 6 = 10 42 = 16 и 62 = 36
33 + 7 = 40 332 = 1089 и 72 = 49
432 + 18 = 450 4322 = 186624 и 182 = 324
Про простые числа можно говорить бесконечно (не в том смысле, что самих простых
чисел бесконечно много и было бы просто тривиально начать их перечислять, а в смысле,
что у простых чисел очень много интересных свойств).
Известна, например, теорема П. Л. Чебышева, что между двумя натуральными числами
n и 2n имеется по крайней мере одно простое число.
Числа и даты. В феврале 2000 года случилась заменательная дата - 02.02.2000. В
записи даты - только четные цифры. Последний раз такое событие произшло 28.08.888.
Последний прожитый нами нечетный день был 19.11.1999. Следующий будет 01.01.3111.
Цифр вообще можно набрать прелюбопытных вволю. Если, скажем, обратиться к
двоичному счислению, то 1111.111.11111111111 1111:11111:11111 это 15:31:31 15 июля
2047 года.
Число 13452 образовано из пяти последовательных цифр (расположенных не по
порядку) так, что число образованное первыми двумя цифрами, умноженное на среднюю
цифру, дает число, образованное последними двумя цифрами.
13 * 4 = 52
4
Число 947658 образовано из шести последовательных цифр (расположенных не по
порядку) так, что число образованное первыми двумя цифрами, умноженное на среднюю
цифру, дает число, образованное последними тремя цифрами.
94 * 7 = 658
Числа 39157 и 57139. Данные числа составлены из пяти первых нечетных чисел 1, 3, 5, 7
и 9 следующим образом: произведение числа, образованного из первых двух цифр, на
число, образованное двумя последними цифрами, минус число стоящее в середине
равно числу, составленному из повторений одной и той же цифры.
39* 57 - 1 = 57* 39 - 1 = 2222
1444 - наименьший квадрат целого числа, оканчивающийся наиболее длинной
последовательностью одинаковых цифр. Нуль не считается допустимой цифрой.
1444 = 38 2
Число 273863. Наибольшее число, которое при умножении на 365 дает число,
содержащее восемь цифр, из которых первые четыре дважды повторяются. 272863* 365
= 99959995
Легкое деление: чтобы разделить, просто перенесите первую цифру в конец. Частное,
получающееся при перестановке в конец первой цифры делимого, можно найти для
любого делителя и любой. Ниже два примера.
Чтобы разделить 8101265822784 на 8, достаточно переставить первую цифру числа в
конец. 8 101 265 822 784:8 = 1 012 658 227 848
Чтобы разделить 7101449275362318840579 на 7, достаточно переставить первую цифру
числа в конец. 7 101 449 275 362 318 840 579: 7 = 1014492753 623 188 405 797
Легкое деление (вариант 2): чтобы разделить, просто переставьте последнюю цифру в
начало В отличие от предыдущего случая, в данном варианте решение существует не
всегда. Так, например, для делителя 2 решения не существует. Однако не все так плохо.
Чтобы разделить 857142 или 428571 на 3, достаточно переставить последнюю цифру
каждого из чисел в начало.
857 142: 3 = 285 714; 428 571: 3 = 142 857
Цифровые совпадения
Произведение и сумма некоторых чисел дает в результате числа, состоящие из
одинаковых цифр:
9 * 9 = 81 18 = 9 + 9;
2 * 47 = 94 49 = 2 + 47;
3* 24 = 72 27 = 3 + 24;
2 *497 = 994 499 = 2 + 497;
2 * 263 = 526 265 = 2 + 263.
Вообще, вводя девятки после первой цифры чисел из двух последних примеров, можно
получить минимум два аналогичных результата при любом желаемом числе цифр:
2 * 4997 = 9994 4999 = 2 + 4997;
2 * 2963 = 5926 2965 = 2 + 2963.
Квадраты-палиндромы
Квадраты некоторых целых чисел можно читать как обычным образом, так и справа
налево. Некоторые из них найти очень легко. Например, квадраты чисел 1, 11, 111 и 1111
равны соответственно 1, 121, 12321, 1234321. Все получившиеся числа - палиндромы, и
данное правило применимо к любому числу единиц, не превосходящему 9. Однако
существуют и другие случаи, которые вполне можно назвать нерегулярными.
Например, 264 2 = 69696, а 22852 = 5221225
Задача о десяти цифрах. Существует четыре числа, составленных из всех десяти цифр,
таким образом, что эти числа делятся на все числа от 2 до 18:
2 438 195 760;
3 785 942 160;
5
4 753 869 120;
4 876 391 520.
Извлечение кубического корня
Иногда, чтобы извлечь кубический корень из числа, достаточно посчитать сумму цифр
этого числа. Ниже приведены все такие числа:
1 - сумма цифр числа равна 1, а 1 3 = 1;
512 - сумма цифр числа равна 8, а 8 3 = 512;
4913 - сумма цифр числа равна 17, а 17 3 = 4913;
5832 - сумма цифр числа равна 18, а 18 3 = 5832;
17 576 - сумма цифр числа равна 26, а 26 3 = 17 576;
19 683 - сумма цифр числа равна 27, а 27 3 = 19 683.
Три различные цифры
Числа, составленные из трех различных цифр, каждое из которых делится на квадрат
суммы своих цифр:
162 делится на 81 = (1 + 6 + 2)2 ;
243 делится на 81 = (2 + 4 + 3)2 ;
324 делится на 81 = (3 + 2 + 4)2 ;
392 делится на 196 = (3 + 9 + 2)2 ;
405 делится на 81 = (4 + 0 + 5)2 ;
512 делится на 64 = (5 + 1 + 2)2 ;
605 делится на 121 = (6 + 0 + 5)2 ;
648 делится на 324 = (6 + 4 + 8)2 ;
810 делится на 81 = (8 + 1 + 0)2 ;
972 делится на 324 = (9 + 7 + 2)2 .
Арифметическая прогрессия
Рассмотрим все цифры кроме нуля (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и разобьем их на три группы
таким образом, что полученные числа представляют из себя арифметическую прогрессию.
Например, 147, 258, 369 - прогрессия с разностью 111.
Существует, как минимум четыре способа проделать вышеописанную операцию, чтобы в
каждом случае три числа образовывали арифметическую прогрессию, а среднее число
оставалось одним и тем же:
297 564 831;
291 564 837;
237 564 891;
231 564 897,
где разность равна соответственно 267, 273, 327 и 333.
Сложение и умножение дает одинаковый результат
Существуют пары чисел, которые при сложении и умножении дают одинаковый
результат, например: 1,1 и 11.
1,1 + 11 = 1,1 * 11 = 12,1
Впрочем, подобных чисел бесконечно много:
2 + 2 = 2 * 2 = 4;
6 + 1,2 = 6 *1,2 = 7,2;
26 + 1,04 = 26 * 1,04 = 27,04.
Вообще, для любого n парное ему число m, удовлетворяющее описанному свойству,
можно вычислить по формуле
m = n/(n - 1) = (n + 1) + 1/(n - 1).
Квадраты и кубы
Два наименьших числа, таких, что разность их квадратов представляет собой куб, а
разность кубов - квадрат: 10 и 6.
10 2 - 62 = 100 - 36 = 64 = 43 ,
10 3 - 6 3 = 1000 - 216 = 784 = 282 .
6
Числа, равные сумме кубов своих цифр
Существуют четыре числа, если не считать 1, совпадающие с суммой кубов своих цифр:
153 = 1 + 125 + 27;
370 = 27 + 343;
371 = 27 + 343 + 1;
407 = 64 + 343.
«Рациональные числа»
№1. Доказать, что набор  ,, является алгеброй с двумя двухместными операциями.
№2. Доказать, что набор  , ,,, ' ,0,1 является системой с бинарным отношением
  ()  2 , двухместными операциями  ,  : (  ()   ()  2) , одноместной операцией ':
нульместными операциями (константами) 0, 1:
n  n  1 (  (' )  1) и двумя
(  (0)   (1)  0) .
№3. Доказать, что набор  , ,:, 2  не образует алгебру, поскольку деление не является
операцией на множестве Z (например, 2 : 3  Z ), а элемент 2 не принадлежит Z .
№4. Доказать, что набор  P(U ),,,,0,1 с двухместными операциями  ,  , одноместной
операцией - : A  A , константами 0   и 1  U является алгеброй, называемой алгеброй
Кантора.
№5. Доказать, что является алгеброй любое кольцо.
Решение:
d
d
Пара { f ( x) | f : R  R},  (где
- операция дифференцирования) не является алгеброй,
dx
dx
поскольку не всякая функция дифференцируема, но если рассмотреть множество
A  { f ( x) | f ( x)
дифференцируема бесконечное число раз}, то отображение
d
df
d
дифференцирования
: f 
является операцией на A и пара  A,  образует
dx
dx
dx
алгебру.
№6. Доказать, что множество слов алфавита X образуют полугруппу W ( X ), ^  . Является
моноидом?
Решение:
Пусть W  X  - множество слов алфавита X . Определим на W  X  операцию конкатенации 
следующим образом: если  ,   W ( X ) , то  ^    , то есть результатом является слово,
полученное соединением слов  и  (например, xyz^ zx  xyzzx ). Операция 
ассоциативна, то есть для любых слов  ,  ,  верно ( ^  )^    ^ (  ^  ) . Следовательно,
система W ( X ), ^  является полугруппой. Так как для всех   W ( X ) верно
^    ^    , где  - Пустое слово, то  удовлетворяет свойству единицы. Таким
образом, система W ( X ), ^  является моноидом.
«Действительные числа»
1 
№1. Найдите носитель подсистемы B X  системы B  Q \ {0}, для множества X    .
2
Решение:
Так как сигнатура  системы B есть , то T   x1 , x2  x2 , x1  x2   x3 , x1  x2  x3 ,....
1 1 1 1 1 1  1 1 1 1   1

По теореме 2 получаем B X    ,  ,   ,...   , , , ,...   n | n  1 .
 2 2 2 2 2 2   2 4 8 16   2

1 
Если B  Q \ {0}, , X    , то, поскольку по сравнению с предыдущим примером
2
сигнатура дополняется операцией деления x : y , множество B X  содержит также числа
7


1 1
: m  2 n  m , m, n  1 , то есть C  2 n | n  Z  B( X ) . Так как множество C замкнуто
n
2 2
относительно операций умножения и деления, то есть C ,  является подсистемой системы
B X  и содержит множество X , то B X   C . Следовательно, B X   C .
№2. Найдите носитель подсистемы B X  системы B  C,, i для множества X   2,2.
Решение:
Так как все термы из T   являются переменными, константой i или образуются из
переменных и константы i с помощью операции сложения, то каждый элемент из B X 
получается подстановкой элементов из X в некоторый терм x1  x2  ...  xm  i  i  ...  i .
Следовательно, B X   2m  ni | m  Z , n  .
«Комплексные, дуальные, р-адические числа»
№ 1. Выполните сложение чисел
а) 3  5i и 1  2i .
б) 2  i и 5  2i .
г) 1  5i и 3  2i .
д) 2  i и 3  i .
Решение. а) (3  5i)  (1  2i)  3  1  (5  2)i  4  7i .
2. Выполните умножение чисел
а) 3  5i и 1  2i .
б) 2  i и 5  2i .
г) 1  5i и 3  2i .
д) 2  i и 3  i .
Решение. а) (3  5i)  (1  2i)  3  1  3  2i  5  1  i  5i  2i  3  10  6i  5i  7  11i .
3. Выполните деление
а) числа 3  5i на число 1  2i .
б) числа 5  2i на число 2  i .
в) числа 3  2i на число 1  5i .
г) числа 3  i на число 2  i .
(3  5i)  (1  2i) 3  6i  5i  10 13  i 13 1


  i.
(1  2i)  (1  2i)
5
5
5 5
Решение. а)
4. Найти корни многочлена
2
а) f ( x)  x  2 x  10 .
б) f ( x)  x  2 x  5 .
2
в) f ( x)  x  6 x  18 .
2
г) f ( x)  x  2 x  26 .
«Линейные алгебры над полями. Теорема Фробениуса»
№1. Доказать, что набор  ,, является алгеброй с двумя двухместными операциями.
№2. Доказать, что набор  , ,,, ' ,0,1 является системой с бинарным отношением
  ()  2 , двухместными операциями  ,  : (  ()   ()  2) , одноместной операцией ':
нульместными операциями (константами) 0, 1:
n  n  1 (  (' )  1) и двумя
(  (0)   (1)  0) .
2
8
№3. Доказать, что набор  , ,:, 2  не образует алгебру, поскольку деление не является
операцией на множестве Z (например, 2 : 3  Z ), а элемент 2 не принадлежит Z .
№4. Доказать, что набор  P(U ),,,,0,1 с двухместными операциями  ,  , одноместной
операцией - : A  A , константами 0   и 1  U является алгеброй, называемой алгеброй
Кантора.
№5. Доказать, что является алгеброй любое кольцо.
Решение:
d
d
Пара { f ( x) | f : R  R},  (где
- операция дифференцирования) не является алгеброй,
dx
dx
поскольку не всякая функция дифференцируема, но если рассмотреть множество
A  { f ( x) | f ( x)
дифференцируема бесконечное число раз}, то отображение
d
df
d
дифференцирования
: f 
является операцией на A и пара  A,  образует
dx
dx
dx
алгебру.
№6. Доказать, что множество слов алфавита X образуют полугруппу W ( X ), ^  . Является
моноидом?
Решение:
Пусть W  X  - множество слов алфавита X . Определим на W  X  операцию конкатенации 
следующим образом: если  ,   W ( X ) , то  ^    , то есть результатом является слово,
полученное соединением слов  и  (например, xyz^ zx  xyzzx ). Операция 
ассоциативна, то есть для любых слов  ,  ,  верно ( ^  )^    ^ (  ^  ) . Следовательно,
система W ( X ), ^  является полугруппой. Так как для всех   W ( X ) верно
^    ^    , где  - Пустое слово, то  удовлетворяет свойству единицы. Таким
образом, система W ( X ), ^  является моноидом.
Вопросы к зачету
1. Формулировка аксиоматической теории натуральных чисел.
2. Сложение и умножение натуральных чисел.
3. Неравенства на множестве натуральных чисел.
4. Натуральные кратные и степени элементов полугруппы, их свойства.
5. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел.
6. Независимость аксиомы индукции и ее роль в арифметике.
7. Эквивалентность аксиомы индукции и теоремы о наименьшем элементе
8. Аксиоматическая теория целых чисел.
9. Свойства целых чисел, теорема о порядке.
10. Непротиворечивость и категоричность аксиоматической теории целых чисел.
11. Аксиоматическая теория рациональных чисел
12. Свойства рациональных чисел.
13. Плотность поля рациональных чисел.
14. Непротиворечивость и категоричность аксиоматической теории рациональных
чисел
15. Аксиоматическая теория действительных чисел.
16. Действительные числа как предел последовательности рациональных чисел,.
17. Существование корня натуральной степени из положительного действительного
числа.
18. Аксиоматическая теория комплексных чисел.
19. Линейные алгебры над полями.
20. Теорема Фробениуса.
9