Системы счисления Методическое пособие. 8 уроков Список уроков Урок 1. Понятие и виды систем счисления Урок 2. Двоичная система счисления. Правила перевода в десятичную систему счисления Урок 3. Арифметические действия с двоичными числами Урок 4. Перевод десятичных чисел в двоичные. Урок 5. Восьмеричная система счисления Урок 6. Двоично- восьмеричные числа Урок 7. Шестнадцатеричная система счисления Урок 8. Контрольная работа Итоги изучения Диктант Выход Что такое система счисления? Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Существуют непозиционные и позиционные системы счисления. Содержание В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. Древнегреческая Индейцев Майя Старо-Китайская Славянская кириллическая Славянская глаголическая Латинская В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 - количество вертикальных полос: . Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков: Число 10 обозначалось "дека" - "десять". - заглавной "Дельта" от слова Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000. Система счисления индейцев Майя. Записывались числа в столбик, начиная со знаков , затем знаки ,а потом больших значений и заканчивая меньшими. -1 -6 -11 -2 -7 -12 -3 -8 -13 -4 -9 -15 -5 -10 -19 -20 или 0 Старо-китайская система счисления. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля. -2 -1 -5 -8 -6 -9 -3 -4 -7 -0 Славянская кириллица. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Славянская глаголическая. Эта нумерация была создана для переписки чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в. -1 -6 -10 -60 -100 -600 -2 -7 -20 -70 -200 -700 -3 -8 -30 -80 -300 -800 -4 -9 -40 -90 -400 -900 -50 -500 -5 -1000 Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали Латинская система счисления. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Есть правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры, такая комбинация заменяется комбинацией с правилом вычитания I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1 000 В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например: в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы. Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. На дом Задание на дом: 1. Какой числовой эквивалент имеет цифра « 6» в десятичных числах: 6789 , 3650, 16, 697 2. Какие числа записаны цифрами: А) MCMXCIX B) CMLXXXVIII C) MCXLVII Содержание Урок 2. Представление чисел. 127 10 =100+20+7 =1*102 +2*101+7*100 Правило: любое число можно представить в виде суммы произведений цифры на основание системы в которой находится число в степени на единицу меньше чем порядок цифры. Задание: Расписать по формуле 1. 23410 = 2. 10110= 3. 204010 = далее Содержание Двоичная система счисления Вся информация обрабатываемая компьютером переводится в машинный код, т.е. в двоичную систему счисления. Разложим двоичное число по правилу: 102 = 1* 21 + 0* 20 = 210 102 210 Самостоятельно! Самостоятельно в тетради: Расписать согласно правила 1) 100112 = 1910 2) 10110012 = 8910 3) 110112 = 2710 4) 10012 = 910 Далее Задание на дом 1) Расписать по формуле: 37210 = 200610 = 2) Перевести из 2-ой в 10-ую системы счисления: 1001002 = 1000012 = Назад Далее Самостоятельная работа: 1 вариант 1. Расписать 2458 10= 2. Перевести в 10 –ю с.с. 110012 2 вариант 1. Расписать 3717 10= 2. Перевести в 10 –ю с.с. 110112 100112 100012 101112 111112 Содержание Урок 3 Правило сложения двоичных чисел: 1+0=1 1–0=1 1*0=0 0+1=1 0–0=0 0*1=0 0+0=0 1–1=0 1*1=1 1 + 1 = 10 10 – 1 = 1 0*0=0 Содержание Примеры: 1001 1010 10011 1010 1001 10011 101 * 11 101 1010 1111 В тетрадях выполните следующие действия с двоичными числами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 11102 + 1012 = 101012 - 112 = 11012 + 10112 = 111112 + 12 = 101012 * 112 = 11012 * 1012 = Задачи: Одна машина проехала 1000112 км, другая машина проехала 10110012 км. Сколько всего км проехали обе машины вместе? Первый партнёр сшил 11001002 изделий, второй - 11002, а третий 100012. Сколько всего было сшито изделий? Ответ сообщить в десятичной системе счисления. На дом 1) Посчитать: a) 11111112 + 10012= б) 1001112+1110002 = в) 11111112 - 10012= г) 11001112 - 11012 = 2) Решить задачу: В коробке было 110012 синих мелков и 101112 белых мелков. Сколько всего мелков? Содержание Урок 4 Правило перевода десятичного числа в двоичное: Правило: Чтобы перевести десятичное число в любую другую систему счисления, необходимо – данное число делить на основание системы счисления в которую переводим до тех пор пока частное не будет меньше делимого. Результат: Собрать все остатки начиная с последнего частного. Содержание пример Например: 2510 = 11001 25 24 1 2 2 12 2 12 6 2 0 6 3 2 0 2 1 1 Далее Переводим десятичное числа в двоичное: 9 10 2 1710 2 1001 2 100012 Самостоятельно: 1. 5010 = 1100102 2. 3410 = 1000102 3. 10110 = 11001012 4. 4410 = 1011002 На дом 1) Перевести: a) 11110 2 б) 15 10 2 2) Решить задачу: В классе было 36х учеников; из них 21х девочек и 15х мальчиков. В какой системе Содержание счисления велся счет учеников? 3) Составить самим задачу с использованием системы счисления. - условие задачи записать на отдельном листе; - указать решение. назад Урок 5. Восьмеричная система счисления Вопросы: Из названия определить 1. Какие цифры участвуют в записи чисел восьмеричной системы счисления? содержание 01234567 2. Каково основание восьмеричной системы счисления? 8 3. Перечислите числа первого порядка восьмеричной системы счисления? 01234567 4. Перечислите числа второго порядка восьмеричной системы счисления? 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 Содержание 30 31 … и т.д. Экспресс опрос Экспресс- опрос В какой система счисления могут быть записаны следующие числа? 167 10100 123 18967 1261 1090 Перевести Задание: Перевести 1. 2. 3. 4. 5 6. 7. 7510 1910 1510 13210 758 178 158 8. 5710 9. 1001102 10. 1510 10 = = = = = = = 2 = 8 8 8 8 10 10 23 17 204 61 15 13 111001 10 2 113 = = 38 1111 Вычислить Вычислить: 1. 758 + 178 = 2. 458 - 68 = 3. 628 + 778 = 4. 238 - 178 = На дом: 1. 5810 8 2. 358 10 = = 3. 628 + 748 = 4. 138 – 78 = начало Ответ Ответ: 1. 758 + 178 =1148 2. 458 - 68 =378 3. 628 + 778 =1618 4. 238 - 178 = 48 назад Урок 6. Двоично -восьмеричные числа Каждая цифра восьмеричного числа имеет свой двоичный код: 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Заменяя его можно перевести двоичное число в восьмеричное и наоборот. Содержание Например Пример перевода восьмеричного числа в двоичное: 3568 = 011.101.1102 5678 = 101.110.1112 Пример перевода двоичного числа в восьмеричное : 1.110.1102 = 1668 101.111.0102 = 5728 Примечание: первый нуль не ставится Самостоятельно Самостоятельно: Задание: 1. Выполнить перевод из одной системы счисления в другую 2. Выполнить проверку 1. Перевести из восьмеричной в двоичную: 2478 = 10248 = 77228 = 2. Перевести из двоичной в восьмеричную : 11100012 = 1000001002 = 111111111112 = На дом: 1. Перевести из восьмеричной в двоичную: 46788 = 1110558 = 1100118 = 2. Перевести из двоичной в восьмеричную : 11012 = 10011111002 = 1101110012 = 3. Составить задачу с использованием систем счисления. Содержание Назад Урок 7. Шестнадцатеричная система счисления Вопрос: 1. Как вы думаете каково основание шестнадцатеричной системы счисления? 16 2. Какие символы участвуют в записи чисел шестнадцатеричной системы счисления? 0123456789ABCDEF Таким образом: • для первых целых чисел (от 0 до 10) используются цифры 0, 1, ..., 9, • для следующих чисел (от 10 до 15) — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F Содержание пример Пример перевода десятичного числа в шестнадцатеричное: 34610 = 15А 16 346 16 336 21 16 10 16 Соответственно: 1–1 5–5 10 - А 5 1 Пример шестнадцатеричного числа десятичное: 15А16 = 346 10 15А16 = 1*162 + 5*161 + 10*160 = 256 + 80 +10 =34610 Самостоятельно 1. 15FC16-10 = 562810 2. CAF16 – 10 = 324710 3. 7810-16 = 4E16 4. 12510-16 = 7D16 5. 42610-16 1AA16 Дома Задание на дом: Вычислить: 1. 3A16+2B16 = ? 2. 13B16 + 4A16 – 4C16 =? Итоги Назад Содержание Итоги изучения: Содержание Используемые компьютером: двоичная (используются цифры 0, 1); восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7); шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F). Люди для вычисления используют десятичную с.с.(0,1…, 9) 10-я 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2-я 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 8-я 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 16-я 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 назад Диктант 1. Наименьшая единица измерения информации? 2. Символы, используемые в восьмеричной система счисления? 3. Символы, используемые в десятичной система счисления? 4. Носители информации? 5. Чтобы перевести число в десятичную систему счисления необходимо….. 6. Чтобы число десятичной системы счисления перевести в любую другую, необходимо…. ответы Содержание Контрольная работа По теме « Системы счисления» ответ Содержание 1)Какие целые числа следуют за числами: а) 12 е) 18 п) F16 б) 1012 ж) 78 м) 1F16 в) 1112 з) 378 н) FF16 г) 11112 и) 1778 о) 9AF916 2)Какие целые числа предшествуют числам: а) 102 е) 108 л) 1016 б) 10102 ж) 208 м)2016 в) 10002 з) 1008 н) 10016 г) 100002 и) 1108 о) A1016 Начало След.задание 3)Переведите числа в десятичную систему: а) 10110112 е) 5178 л) 1F16 б) 101101112 ж) 10108 м) ABC16 в) 0111000012 з) 12348 н) 101016 г) 0,10001102 и) 0,348 о) 0,А416 4)Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: а) 12510 б) 22910 г) 3710 в) 8810 д) 20610. Начало Пред.задание След.задание 5) Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную а) 10011111101112 б) 11101010112 в) 101110012 г) 10111100111002 6) Переведите в двоичную и восьмеричную системы: а) 2СE16 б) 9F4016 г) 101016 Пред.задание Начало в) ABCDE16 д) 1ABC16 След.задание 7)Расположите следующие числа в порядке возрастания: а) 748, 1100102, 7010, 3816 б) 6E16, 1428, 11010012, 10010 в) 7778, 1011111112, 2FF16, 50010 Пред.задание Начало Ответы: Задание 1 а) 102 б) 1102 в) 10002 г) 100002 д) 1011002 е) 28 ж) 108 з) 408 и) 2008 к) 100008 л) 1016 м) 2016 Задание 2 а) 12 б) 10012 в) 1112 г) 11112 д) 100112 е) 78 ж) 178 з) 778 и) 1078 к) 7778 л) F16 м) 1F16 Задание 3. а) 91 з) 668 б) 183 л) 31 в) 225 г) 35/64 д) 52,75 е) 335 м) 2748 Задание 4. а) 11111012; 1758; 7D16; б) 111001012; 3458; E516; в) 10110002; 1308; 5816; г) 100101,012; 45,28; 25,416; ж) 520 Задание 5. а) 117678; 13F716; б) 16538; 3AB16; в) 2718; B916; г) 136348; 179C16; Задание 6 а) 10110011102; 13168; б) 10011111010000002; 1175008; в) 101010111100110111102; 25363368; г) 10000000100002; 100208; Задание 7 а) 10110011102; 13168; б) 10011111010000002; 1175008; в) 101010111100110111102; 25363368; г) 10000000100002; 100208;