Треугольники На тему: Выполнили: Ученицы 9б класса

На тему:
Треугольники
Выполнили:
Ученицы 9б класса
МСОШ
Якубова Анастасия,
Симушкина Вероника
Руководитель:
Радченко Л.А
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВИДЫ
СВОЙСТВА
ТЕОРЕМЫ
 ЗАДАЧИ
НЕВЕРОЯТНО, НО ФАКТ!!!
ТРЕУГОЛЬНИК – ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ФИГУРА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ТРЁХ ТОЧЕК,
СОЕДИНЁННЫХ МЕЖДУ СОБОЙ ОТРЕЗКАМИ
ТОЧКИ – ВЕРШИНЫ.
ОТРЕЗКИ – СТОРОНЫ.
٠
٠
٠
ДОМОЙ
ПРОИЗВОЛЬНЫЕ
ОСТРОУГОЛЬНЫЕ
ТУПОУГОЛЬНЫЕ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ
РАВНОБЕДРЕННЫЕ
ДОМОЙ
 ПРОИЗВОЛЬНЫХ
 РАВНОСТОРОННИХ
 ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
 ПОДОБНЫХ
 РАВНОБЕДРЕННЫХ
ДОМОЙ
 об отношении площадей подобных
треугольников
 о средней линии треугольника
 Пифагора
ДОМОЙ
отношение площадей двух подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
S:S่=K
ДОКАЖЕМ?
в меню
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
– это отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.
В
M
А
1
2
N
С
Теорема: средняя
линия ∆ ll одной из
его сторон и = ½
этой стороны.
Докажем?
в меню
MN – средняя линия.
BMN и BAC ~ по 2
признаку подобия,
поэтому 1 = углу 2 и
MN = ½ АС.
В
M
А
1
2
N
С
ДОМОЙ
в меню
∆ АВС подобен А่В ่С ่.
Так как угол А равен углу А ่ =>
S:S1=AB*AC:A ่B ่* A ่C ่.
По формулам имеем:
АВ:A ่B ่=k ,
S:S่=K
AC:A ่่่่С ่=k
А
่
А
ДОМОЙ
в меню
С
В С
В
Рассмотрим прямоугольный треугольник
с катетами
a, b и гипотенузой c.
b
a
c
a c
b
Достроим треугольник до квадрата со стороной
a+ b так, как показано на рисунке.
Площадь этого квадрата равна
b
(a +b)²
c
b
a
С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных
треугольников.
Площадь каждого из равна
Площадь квадрата
a
b
c
½ab.
S=4*½ ab+c²= 2ab+c²
Таким образом, (a+b)²=2ab+c², откуда
c²=a²+b².
ДОМОЙ
в меню
В
прямоугольном
треугольнике
квадрат
гипотенузы
равен сумме
квадратов
катетов.
с²= а²+b²
c
b
a
Докажем?
в меню
Равнобедренный ∆ - треугольник, у
которого две стороны равны.
Равные стороны – боковые стороны.
Третья сторона – основание
основание
ДОМОЙ
в меню
 Углы при основании равны.
 Биссектриса, проведённая к
основанию, является медианой и
высотой.
ДОМОЙ
ДОМОЙ
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к
основанию, является медианой и высотой.
A
12
3 4
B
D
C
Докажем?
в меню
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
A
1 2
4
3
B
D
C
Докажем?
в меню
Рассмотрим равнобедренный ∆ ABC с основанием
BC и докажем, что углы B и C равны.
Пусть AD - биссектриса треугольника ABC.
A
∆ ABD = ∆ ACD (AB = AC по условию, AD общая сторона, углы 1 и 2 равны, так как
AD – биссектриса).
Из равенства этих треугольников следует,
что углы B и C равны.
Теорема доказана.
1 2
4
3
B
D
C
ДОМОЙ
в меню
A
12
3 4
B
D
ABC – равнобедренный ∆ с основанием
BC.
AD - его биссектриса.
Из = ∆ ABD и ACD => точка D – середина
стороны BC,
AD – медиана треугольника ABC.
Так как углы 3 и 4 смежные и = , то они
прямые. => отрезок AD является
также высотой треугольника ABC.
Теорема доказана.
C Мы установили, что биссектриса, медиана
и высота, проведённые к основанию,
совпадают. Поэтому :
1. высота = биссектриса = медиана. в меню
ДОМОЙ
Начертите треугольник ABC с тремя
острыми углами
и треугольник MNP, у которого угол M
тупой.
С помощью чертёжного угольника
проведите высоты каждого
треугольника.
Решим ещё?
ДОМОЙ
Начертите прямую а и отметьте точки A
и B, лежащие по разные стороны от
неё.
С помощью чертёжного угольника
проведите из этих точек
перпендикуляры к прямой а.
Решим ещё?
ДОМОЙ
Начертите треугольник.
С помощью масштабной линейки
отметьте середины сторон и
проведите медианы треугольника.
Решим ещё?
ДОМОЙ
ДОМОЙ
ДОМОЙ
ДОМОЙ
Начертите треугольник.
С помощью транспортира и
линейки проведите его
биссектрисы.
Решим ещё?
ДОМОЙ
Начертите прямую а и отметьте точки А и В,
лежащие по разные стороны от прямой а .
С помощью чертёжного угольника
проведите из этих точек перпендикуляры к
прямой а.
Решим ещё?
ДОМОЙ
Начертите три равнобедренных
треугольника так, чтобы угол, лежащий
против основания, был:
а) острым
б) прямым
в) тупым
Решим ещё?
ОТВЕТ?
ДОМОЙ
Решим ещё?
ДОМОЙ
В равнобедренном треугольнике
основание в 2 раза меньше боковой
стороны, а периметр равен 50 см.
Найдите стороны треугольника.
Решим ещё?
ДОМОЙ
Докажите, что в равнобедренных
треугольниках медианы, проведенные
к равным сторонам, равны.
Решим ещё?
ДОМОЙ
Сторона АВ треугольника АВС равна 17
см, сторона АС в 2 раза больше
стороны АВ, а сторона ВС на 10 см
меньше стороны АС.
Найдите периметр треугольника АВС.
Решим ещё?
ДОМОЙ
Отрезки АС и BD пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
Докажите, что ∆ АВС = ∆ СDА.
Решим ещё?
ДОМОЙ
Теорема. Если два угла одного
треугольника равны двум углам
другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
Доказательство: Пусть у
треугольников АВС и А1В1С1 ,
угол А равен углу А1, угол В равен
углу В1. Докажем, что
треугольник АВС подобен
треугольнику А1В1С1.
Пусть k = АВ/A1B1
2.Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 30, равен половине
гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в
котором угол A – прямой, угол B = 30 градусов и,
значит, что угол C = 60 градусам. Докажем, что
AC = ½ BC
Приложим к треугольнику ABC
равный ему треугольник ABD.
B
Получим треугольник BCD в
котором B = D = 60, поэтому DC =
BC. Но AC = ½ DC.
Следовательно, AC = ½ BC, что и
требовалось доказать.
C
A
3. Если катет прямоугольного треугольника
равен половине гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30 градусам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого катет
AC равен половине гипотенузы BC. Докажем, что угол AC =
30 градусам.
Положим к треугольнику ABC равный ему треугольник
ABD. Получим равносторонний треугольник BCD.
Углы равностороннего треугольника равны друг
другу, поэтому каждый из них равен 60 градусам. В
частности, угол DBC = 60 градусам. Но угол DBC
= 2 углам ABC. Следовательно, угол ABC = 30,
что и требовалось доказать.
Если две стороны одного
треугольника пропорциональны
двум сторонам другого треугольника
и углы, заключённые между этими
сторонами, раны, то такие
треугольники подобны.
В
В1
АВ/A1B1=AC/A1C1
А
С
А1
С1
В
Если три стороны одного
треугольника пропорциональны
трём сторонам другого
треугольника, то такие
треугольники подобны.
В1
А
С
А1
АВ/A1B1=BC/B1C1=CA/C1A1
С1
Отношение площадей двух подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
S : S` = R²
S`
S
Докажем?
– это треугольники, у которых 2 угла равны
соответственно, а стороны пропорциональны
сходственным сторонам.
ДОМОЙ
в меню
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ:
Задача №1
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Признаки равенства треугольников:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и углу между ними
другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного
треугольника соответственно равны стороне и двум
прилежащим к ней углам другого треугольника, то
треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно
равны трём сторонам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Практика !
ДОМОЙ
ДОМОЙ
ДОМОЙ
ДОМОЙ
"магическая
таблица" И-ЦЗЫН
отражает самые
сокровенные
тайны Природы,
ОНА ЯВЛЯЕТСЯ
ТОЙ САМОЙ
МАТРИЦЕЙ, с
которой Природа
штампует Все и
Вся.
ДОМОЙ