2012 ЕГЭ Математика B

ЕГЭ– 2012
Математика
Задача B6
Найти один из углов, образованных
при пересечении трех высот в
треугольнике
Зенина Алевтина Дмитриевна,
учитель математики
г.Тюмень, 2011 г.
Теоретические сведения №1
• В прямоугольном треугольнике сумма
острых углов рана 90о
Сумма всех углов в треугольнике равна: 90о + ɑ + β = 180о
ɑ
ɑ + β = 180о – 90о
┐
β
ɑ + β = 90о
14.1
Прототип задания B4 (№ 27779)
В треугольнике ABC угол A равен 60о, угол B равен 82о. AD, BE и
CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF.
Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим прямоугольный ∆ АDB
∟DАВ = 90о – 82о = 8о
Рассмотрим прямоугольный ∆ АОF
∟АОF = 90о – 8о = 82о
Если заметить, что прямоугольные ∆ АDB и ∆ АОF
подобны по острому углу ∟DАВ, то можно сразу
ответить на вопрос задачи: ∟АОF = 82о
60о 8о
82о
Ответ: 82
14.2
Задание B4 (№ 48045)
Прототип № 27779
В треугольнике ABC угол A равен 21о, угол B равен 11о. AD, BE и
CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF.
Ответ дайте в градусах.
Прямоугольные ∆ FBC ≈ ∆ DОС
подобны по острому углу ∟BCF
∟BCF - общий. Следовательно равны
79о
∟FBC = ∟DОС = 11о
∟DОС = ∟FОА = 11о (как вертикальные)
Можно рассмотреть прямоугольный ∆ ВСF
11о
21о
∟ВСF = 90о – 11о = 79о
11о
Из ∆ DОС: ∟ DОС = 90о – 79о = 11о
∟DОС = ∟FОА = 11о (как вертикальные)
Ответ: 11
14.3
Задание B4 (№ 48091)
Прототип № 27779
В треугольнике ABC угол A равен 75о, угол B равен 30о. AD, BE и
CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF.
Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим четырехугольник FODB
Сумма внутренних углов во всяком выпуклом
четырехугольнике (FODB) равна 360о
Два угла прямые. Следовательно:
∟В + ∟DOF = 180о
∟DОF = 180о – 30о = 150о
∟AOF = 180о – 150о = 30о
30о
75о
30о
ИТАК: Задачи аналогичные прототипа 27779 можно решить
любым из предложенных способом
Ответ: 30
Скоро ЕГЭ!
• Еще есть время подготовиться!