Гипе́рбола

Гипербола
Работу выполнил
Ученик 10 «Б» класса
Литвинюк Станислав
Учитель Шамсутдинова Р.Р
Школа №80 2008 г.
Содержание
1.Определение
2. График функции
3. Свойства
4. Построение
5. Исторические сведения и
происхождение термина
Гипе́рбола — геометрическое место точек M Евклидовой
плоскости, для которых абсолютное значение разности
расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2
(называемых фокусами) постоянно, то есть
| | F1M | − | F2M | | = 2a
Расстояние между фокусами называется фокальным
расстоянием, а отношение e = | F1F2 | / C —
эксцентриситетом.
Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках
A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы.
Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.
Гипербола имеет центр симметрии.
Гипербола пересекается с прямой y = kx при
общих точек у прямой и гиперболы нет.
в двух точках. Если
то
1
1. Делим фокусное расстояние пополам
получаем точку 0;
2. Слева от фокуса F отмечаем ряд
произвольных точек 1, 2, 3, 4, ... с
постепенно увеличивающимся
расстоянием между ними;
2
3. Строят вспомогательные окружности
с центром в фокусе F радиусами R1=1B,
R2=2B, R3=3B, R4=4B, ...;
4. Строят вспомогательные окружности
с центром в фокусе F1 и радиусами
r1=1A, r2=2A, r3=3A, r4=4A, ...;
3
5. Вспомогательные окружности
пересекаясь определяют положение
точек гиперболы (С, С1 - точки
пересечения окружностей радиусов R1 и
r1, D,D1- точки пересечения окружностей
R2 и r2, и т.п.);
6. Соединив точки плавной кривой
получим правую ветвь гиперболы;
Аналогично строится левая ветвь.
4
5
6
7
8
10
9
11
Одним из первых, кто начал изучать конические сечения — эллипс, парабола, гипербола, был
ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV в. до н.э.). Решая задачу об
удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью,
перпендикулярной его образующей?». Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса,
Менехм получил три вида кривых: эллипс — если угол при вершине конуса острый; парабола —
если угол прямой; одну ветвь гиперболы — если угол тупой.
Название этих кривых придумал не Менехм. Их предложил один из крупнейших геометров
древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг
«Конические сечения» («О кониках»). Семь книг сохранились, три из них — в арабском переводе.
Первые четыре книги содержат начало теории и основные свойства конических сечений. Это —
трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса, где
изложение доведено до исследования эволют конического сечения.
Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одного и того же
кругового конуса, причем любого.
При надлежащем наклоне секущей плоскости удается получить все типы конических сечений.
Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а проектируется на нее, тогда у некоторых
сечений образуется две ветви.
Описывая кривые языком алгебры, математик выберет в плоскости сечения такую прямоугольную
систему координат, в которой уравнения кривых имеют наиболее простой вид. Если направить ось
абсцисс по оси симметрии конического сечения и поместить начало координат на саму кривую, то
ее уравнение принимает вид: