08.Статистическая проверка статистических гипотез

Статистическая
проверка
статистических
гипотез.

Нулевая гипотеза
гипотеза.
(H 0 )
- выдвинутая
Конкурирующая гипотеза ( H 1 ) - гипотеза, которая противоречит нулевой
гипотезе.

Простая гипотеза – гипотеза,
содержащая одно предположение:
H :
0
  5,
где   параметр распределения Пуассона.
Сложная гипотеза – гипотеза, которая
состоит из конечного или бесконечного
числа простых гипотез:
H :
0
  5,
где   параметр распределения Пуассона.

Ошибка первого рода состоит в том, что
будет отвергнута правильная гипотеза, когда
она верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что
будет принята неправильная гипотеза, когда
она неверна.

Уровень значимости ( ) – вероятность
совершить ошибку первого рода.

Статистический критерий (K ) случайная величина, которая служит
для проверки нулевой гипотезы.

Наблюдаемым значением ( K набл ) значение критерия, вычисленное по
выборке.
Критическая область – совокупность
значений критерия, при которых
нулевую гипотезу отвергают.
 Область принятия гипотезы совокупность значений критерия, при
которых нулевую гипотезу принимают.
 Критические точки ( K кр ) - точки,
отделяющие критическую область от
области принятия гипотезы.


Правосторонняя критическая
область – критическая область
определяющаяся неравенством:
K  K кр , K кр  0
0
K кр
K кр ищут, исходя из требования чтобы
P( K  K кр )   .

Левосторонняя критическая область –
критическая область, определяющаяся
неравенством: K  K кр , K кр  0.
K кр
0
K кр ищут, исходя из требования чтобы
P( K  K кр )   .

Двусторонняя критическая область –
критическая область, определяющаяся
неравенством: K  K1 , K  K 2 .
K1
0
K2
K1 , K 2 ищут, исходя из требования чтобы
P( K  K1 )  P( K  K 2 )  .

Если распределение критерия симметрично
относительно 0 и имеются основания
выбрать симметричные относительно нуля
точки:  K кр и K кр ( K кр  0), то
P( K   K кр )  P( K  K кр ).
Тогда P( K
заменится
 K1 )  P(K  K 2 )  
P( K   K кр )  P( K  K кр )  
или
P( K  K кр )   / 2.


Критерий согласия – критерий
проверки гипотезы о предполагаемом
законе неизвестного распределения.
Критерии согласия:  ( хи квадрат)
Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.
2
Проверка гипотезы о
нормальном распределении
генеральной совокупности
Критерий Пирсона.

В качестве критерия проверки H 0
примем случайную величину
(ni  ni)
 
,
ni
2
2
где
ni -эмпирические частоты;
ni
-теоретические частоты.

Строим правостороннюю критическую
область, исходя из требования, что
P(    ( ; k ))  
2
2
кр
в предположении справедливости H 0 ,
где  - уровень значимости;
k - число степеней свободы.
Число степеней свободы находят по
формуле k  s  r  1,
где s - число групп(частичных интервалов)
выборки;
r - число параметров предполагаемого
распределения, которые оценены по
данным выборки.
Если предполагаемое распределение
нормальное, то оценивают два параметра и
тогда k  s  2  1, k  s  3.


Если обозначить 
2
набл
при


2
набл
при


2
кр
2
кр
2
набл
(ni  ni ) 2

, то
ni
гипотезу H 0 принимают;
гипотезу H 0 отвергают.
Критерий согласия Колмогорова.

Если функция распределения
F (x )
случайной величины X непрерывна, то
практически ее эмпирическая функция

F (x)
распределения при
.
n   сходится к
F ( x)

Если F (x) непрерывна, то функция
распределения величины
Dn ( Dn  max Fn ( x)  F ( x)  n )
при n   имеет пределом функцию
k
 2 k 2 2
K ( )    1  e
,
которая не зависит от вида функции
F (x)

По таблице найдем значение функции K ( )
и затем значение функции
P ( )  1  K ( )   .
Если   1 , то расхождение между
эмпирическими и теоретическими
функциями распределения несущественно,
если   0
, то расхождение
существенно.
Сравнение двух дисперсий
нормальных генеральных
совокупностей.

В качестве критерия проверки нулевой
гипотезы о равенстве генеральных
дисперсий примем случайную величину
, причем отношение большей
исправленной дисперсии к меньшей:
2
б
2
м
S
F
.
S

F
Величина
при условии
справедливости H 0 имеет
распределение Фишера-Снедекора со
степенями свободы k1  n1  1 и k 2  n2  1,
где n1 - объем выборки, по которой
вычислена большая исправленная
дисперсия.
Виды регрессии


Y
X
X
Y
1) регрессия на
в виде
функциональной зависимости
y x   yx x  b
;
2) регрессия
на в виде
функциональной зависимости
x y   xy y  d
.
Выборочный коэффициент
корреляции
rв
n


xy
xy  n  x  y
n x y
Выборочное уравнение прямой
Y
X
линии регрессии на
y
y x  y  rв
( x  x)
x
 1  rв  1
Выборочное уравнение прямой
X
Y
линии регрессии
на
x
x y  x  rв
( y  y)
y
 1  rв  1

Если данные наблюдений над признаками
X и Y заданы в виде корреляционной
таблицы с равноотстоящими вариантами,
то целесообразно перейти к условным
вариантам :
xi  C1
Ui 
h1
,
Vj 
y j  C2
h2
Выборочный коэффициент
корреляции
rв
n


uv  n  u  v
n  u  v
uv
nu
nv


u
, v
,
u
v
n
n
 u  u  ( u) ,  v  v  ( v) .
2
2
2
2
x  u  h1  C1 , y  v  h2  C2
 x   u  h1 ,  y   v  h2 .