    9

1) Найдите все положительные значения параметра а, при
каждом из которых система имеет единственное решение
 х  52  ( у  4) 2  9,
Решение.
2
2

2
2
2
х

5

(
у

4
)
9
Если х  0 , то уравнение
( х  2)  у  а
 
задает окружность 1 с центром в точке А(5; 4) радиуса 3,
2
2
если х  0 , то уравнение х  5  ( у  4)  9 задает окружность
2 с центром в точке В(-5; 4) радиуса 3.


1) Найдите все положительные значения параметра а, при
каждом из которых система имеет единственное решение
 х  52  ( у  4) 2  9,
Решение.

( х  2) 2  у 2  а 2
2
2
При положительных значениях а уравнение ( х  2)  у
задает окружность  с центром в точке С(-2; 0) радиуса а .
 а2
1) Найдите все положительные значения параметра а, при
каждом из которых система имеет единственное решение
 х  52  ( у  4) 2  9,
Решение.

( х  2) 2  у 2  а 2
Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения, при
каждом из которых окружность  имеет единственную общую
точку с окружностью 1 или окружностью 2.
1) Найдите все положительные значения параметра а, при
каждом из которых система имеет единственное решение
 х  52  ( у  4) 2  9,
Решение.

( х  2) 2  у 2  а 2
Из точки С проведем луч СА, который пересекает окружность 1
в точках А1 и А2, где А1 лежит между С и А. Также из точки С
проведем луч
СВ, который
пересекает
окружность 2
в точках В1 и
В2, где В1
лежит между С
и В.
1) Найдите все положительные значения параметра а, при
каждом из которых система имеет единственное решение
 х  52  ( у  4) 2  9,
Решение.

СА  (5  2)2  42  65 СА1  65  3 СА2  65  3
( х  2) 2  у 2  а 2
СВ  (5  2)2  42  5
СВ1  5  3  2
СВ2  5  3  8
а  СВ1
1) Найдите все положительные значения параметра а, при
каждом из которых система имеет единственное решение
 х  52  ( у  4) 2  9,
Решение.

( х  2) 2  у 2  а 2
При а  СА1 или а  СА2 окружности  и 1 не пересекаются.
При CA1  а  СА2 окружности  и 1 пересекаются в двух точках.
При а  СА1 или а  СА2 окружности  и 1 касаются.
а  СВ1
1) Найдите все положительные значения параметра а, при
каждом из которых система имеет единственное решение
 х  52  ( у  4) 2  9,
Решение.

( х  2) 2  у 2  а 2
При а  СВ1 или а  СВ2 окружности  и 2 не пересекаются.
При CВ1  а  СВ2 окружности  и 2 пересекаются в двух точках.
При а  СВ1 или а  СВ2 окружности  и 2 касаются.
а  СВ1
1) Найдите все положительные значения параметра а, при
каждом из которых система имеет единственное решение
 х  52  ( у  4) 2  9,
Решение.

( х  2) 2  у 2  а 2
Исходная система имеет единственное решение тогда и только
тогда, когда окружность  касается ровно одной из двух
окружностей 1 и 2 и не пересекается с другой. Так как
СВ1  CA1  CB2  CA2 , то условию задачи удовлетворяют только
значения параметра а, где касания происходит в токах В1 и А2, т.е.
а2
Ответ:
и
а  65  3
а2
а  65  3
2) При каких значениях параметра а уравнение
9  2(3а  2) 3 5а  4а  0 имеет два различных
х
х
2
решения?
Решение.
х
х
Уравнение квадратное относительно
.Пусть 3  t .Тогда
t 2  2(3а  2)t  5а 2  4а  0 . Так как уравнение 3х  t
имеет решение только при t  0 , то решение исходной задачи
можно свести к решению следующей задачи:
«При каких значениях параметра а уравнение
t 2  2(3а  2)t  5а 2  4а  0 имеет два различных
положительных корня?»
3
(1 способ)
t 2  2(3а  2)t  5а 2  4а  0
t1  a
,
t2  5a  4
.
,
D  4(а  1)2 ,
2) При каких значениях параметра а уравнение
9  2(3а  2) 3 5а  4а  0 имеет два различных
х
х
2
решения?
Решение.
«При каких значениях параметра а уравнение
t 2  2(3а  2)t  5а 2  4а  0
имеет два различных
положительных корня?»
(1 способ)
t  2(3а  2)t  5а  4а  0
2
2
,
D  4(а  1)2
t1  a , t2  5a  4 .
Уравнение t  2(3а  2)t  5а  4а  0 имеет два
различных положительных корня, если:
2
a  0,

5a  4  0,
a  5a  4;

2

a  0,8,

a  1.
,
2) При каких значениях параметра а уравнение
9  2(3а  2) 3 5а  4а  0 имеет два различных
х
х
2
решения?
Решение.
«При каких значениях параметра а уравнение
t 2  2(3а  2)t  5а 2  4а  0
имеет два различных
положительных корня?»
(2 способ)
t  2(3а  2)t  5а  4а  0
2
2
,
D  4(а  1)2
t1  a , t2  5a  4 .
Уравнение t  2(3а  2)t  5а  4а  0 имеет два
различных положительных корня, если:
2
 D  0,

t1  t2  0,
t  t  0;
1 2
Ответ:
2

4a 2  8a  4  0,

2(3a  2)  0,
5a 2  4a  0;

a  0,8; 1  (1;  ) .

a  0,8,

a  1.
,
2) При каких значениях параметра а уравнение
sin 2 x  (a  2) sin x  3а  1  0
корней. ?
Решение.
не имеет
3) При каких значениях параметра а уравнение
sin 2 x  (a  2) sin x  3а  1  0
корней. ?
Решение.
не имеет
3) При каких значениях параметра а уравнение
sin 2 x  (a  2) sin x  3а  1  0
корней. ?
Решение.
не имеет
3) При каких значениях параметра а уравнение
sin 2 x  (a  2) sin x  3а  1  0
корней. ?
Решение.
не имеет
3) При каких значениях параметра а уравнение
sin 2 x  (a  2) sin x  3а  1  0
корней. ?
Решение.
не имеет
4)Найти все значения параметра а, при которых уравнение
х2  х
3
 3 х2  х  3a  х  3 а  х имеет ровно один корень.
Решение.
Левую и правую части уравнения можно рассмотреть как функции
Поэтому исходное
f (t )  3t  3 t , которая является возрастающей на R.
уравнение можно записать так f ( х 2  х)  f (а  х), которое (по теореме:
Если функция f (x) монотонна на промежутке I, то уравнение
f ( g ( x))  f (h( x)) равносильно на промежутке I уравнению g ( x )  h( x ) )
равносильно уравнению х 2  х  а  х или х 2  2 х  а  0 . Согласно
условию исходное уравнение должен иметь ровно один корень, то
и уравнение х 2  2 х  а  0 тоже должен иметь один корень, т.е.
D  4  4a  0
а  1
Ответ: а  1