Угол между прямыми

Угол между прямыми
Повторение:
Углом между двумя пересекающимися прямыми
называется наименьший из углов, образованных
при пересечении прямых.
b
a
180  
0

Пусть  – тот из углов, который не
превосходит любой из трех остальных углов.
Тогда говорят, что угол между
пересекающимися прямыми равен 
Повторение:
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол
между пересекающимися прямыми, соответственно
параллельными данным скрещивающимися.
b
a
n


m
M
a
b
Через произвольную точку М проведем прямые m и n,
соответственно параллельные прямым a и b.
Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен 
Повторение:
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол
между пересекающимися прямыми, соответственно
параллельными данным скрещивающимися.
b

a
m
M

a
b
Точку М можно выбрать произвольным образом.
В качестве точки М удобно взять любую точку на одной
из скрещивающихся прямых.
Повторение:
При нахождении угла между прямыми
используют
1) Формулу
cos 
b2  c2  a2
2bc
(теорема косинусов)
для нахождения угла  между прямыми m и n, если стороны
a и b треугольника АВС соответственно параллельны этим
прямым;
2) Или в координатной форме:
cos 
х1 х 2  у 1 у 2  z 1 z 2
x12  y 12  z 12  x 22  y 22  z 22
3) Ключевые задачи;
№1
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.
1
D1
1
I решение
С1
2
А1
1) Прямая AD1 параллельна
прямой ВС1,
В1
 Угол между прямыми АВ1 и
ВС1 равен углу В1AD1.
2
1
2
D
А
2) Треугольник В1AD1 –
равносторонний,   В1AD1 = 600.
1
С
В
0
60
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания С2
баллы
Критерии оценивания
2
Правильный ход решения. Верно построен или
описан искомый угол. Получен верный ответ
1
1) Правильный ход решения. Получен верный
ответ, но имеется ошибка в построении и описании
искомого угла, не повлиявшая на ход решения
2) Правильный ход решения. Верно построен и
описан искомый угол, но имеется ошибка в одном
из
вычислений,
допущенная
из-за
невнимательности, в результате чего получен
неверный ответ
0
1) Ход решения правильный, но оно не доведено до
конца, или решение отсутствует. Нет ответа
2) Ход решения правильный, но имеются
существенные ошибки в вычислениях, приведшие
к неправильному ответу
3) Неправильный ход решения, приведший к
неверному ответу
4) Верный ответ получен случайно при неверном
№1
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.
II решение
1
D1
С1 1) Введем систему координат,
1
А1
В1
1
D
А
1
В
считая началом координат (·) А,
осями координат – прямые АВ,
АД, АА1. А(0;0;0) 

  АВ 1 (1;0;1)
В1 (1;0;1) 

В(1;0;0) 
  ВС1 (0;1;1)
С1 (1;1;1) 
х1 х 2  у 1 у 2  z 1 z 2
С
cosα
x12  y 12  z 12  x 22  y 22  z 22
cos  = 1/2,   (АВ1;AD1) = 600.
0
60
Ответ:
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми А1Д и Д1Е,
где Е – середина ребра СС1.
№2
I решение
D1
С1 1) Прямая A М параллельна
1
прямой ВС1
А1
 Угол между прямыми А1D и
Д1Е равен углу МA1D.
В1
Е 2) из ∆МA1D по теореме
косинусов:
D
А
М
В
С
cosα
b2  c2  a2
2bc
1
Ответ: α arccos
10
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми А1Д и Д1Е,
где Е – середина ребра СС1.
№2
II решение
D1
А1
С1 1) Введем систему координат,
В1
D
считая началом координат (·) А,
осями координат – прямые АВ,
АД, АА1.

А1 (0;0;1) 
  А1 Д(0;1;-1)
Е
В(0;1;0) 

Д1 (0;1;1) 
  Д1Е(1;0;-0,5)
Е(1;1;0,5) 
С
cosα
А
В
х1 х 2  у 1 у 2  z 1 z 2
x12  y 12  z 12  x 22  y 22  z 22
Ответ: α arccos
1
10
В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1 ,все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между прямыми
АВ и A1C .
1
В1 1) Прямая A В параллельна
№3
А1
прямой АВ,
2
1
 Угол между прямыми АВ и
А1С равен углу СA1В1.
С1
1
1
2) из ∆ СA1В1 по теореме
косинусов:
2
В
А
cosα
b2  c2  a2
2bc
1
С
Ответ: 2
4
№4
В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1,все ребра которой равны 1,найдите
косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1 .
С1
М
А1
В1
С
М
А
1
1
В
11
Ответ: 4
№5
В правильной четырехугольной пирамиде
SАВСД, все ребра которой равны 1, точка Е –
середина ребра SD. Найдите тангенс угла
между прямыми АЕ и SВ.
S
Подсказка:
1
Р
Р
1
К
Д
D
М
С
К
О
А
3
2
2
2
1
1
1
2
М
В
Ответ: 2
№6
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1
Е1
D1
О1
F1
1
А1
В1
2
1
2
Е
D
О
F
А
1
1) Построим плоскость
АА1D1D параллельную
плоскости ВВ1С1С. Тогда
С1 прямая AO1 параллельна
прямой BC1, и искомый
угол φ между прямыми AB1 и
BC1 равен B1AO1.
С
В
1
Ответ: 0,75
№6
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1
II решение
1
Е1
D1
F1
А1
1
В1
Е
F
А
1
В
1) Введем систему
координат, считая
С1 началом координат точку
A (0; 0; 0), тогда

В1 (1;0;1) 
  АВ 1 (1;0;1)
А(0;0;0) 
3 

3
С1 (1,5;
;1)  ВС
(0,5;
;1)

1
2
D
2
В(1;0;0) 

С
х1 х 2  у 1 у 2  z 1 z 2
cosα
1
x12  y 12  z 12  x 22  y 22  z 22
Ответ: 0,75
Домашнее задание
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
косинус угла между прямыми АВ и СА1.
Ответы :
3
3
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 ,все
ребра которой равны 1, найдите косинус угла между
прямыми АВ1 и ВС1 .
1
Ответы :
4
В правильной шестиугольной призме
АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1, все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между прямыми AB1 и BД1 .
Ответы :
2
4
Литература
1. В.А. Смирнов ЕГЭ 2011. Математика.
Задача С2. Геометрия. Стереометрия. /
Под. редакцией А.Л. Семенова и И.В.
Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.
2. http://le-savchen.ucoz.ru/