Метод координат и векторов при решении задач

Публичная лекция.
Метод координат
и метод векторов при
решении задач
Подготовила
учитель математики
Краснова Е.В.
Цель:
 Рассмотрение эффективных приемов
использования популярных методов
решения задач (векторного и
координатного)
 Рассмотрение примеров решения
задач.
История


Пьер Ферма
Рено Декарт
Некоторые определения и вычислительные
формулы
Координаты точки на прямой.
0 1 а
А
А(а)
Задачи на прямой в координатах
 1. Вычисление длины отрезка АВ.
Дано: А(х1), В(х2).
Найти АВ.
Решение:
Задачи на прямой в координатах
 2. Вычисление координаты середины отрезка.
Дано: А(х1), В(х2), С – середина отрезка АВ.
Найти координату С.
Решение:
Координаты точки на плоскости
Определение координат
точки методом проекций на оси.
Координаты точки на плоскости
Определение координат
точки через координаты
ее радиус-вектора.
Деление отрезка пополам.
Дано: А(х1, у1), В(х2, у2),С(х,
у) – середина отрезка АВ.
Найти координаты С.
Решение:
Расстояние между точками
Дано: А(х1, у1), В(х2, у2)
Найти АВ.
Решение:
Некоторые свойства векторов
Коллинеарность векторов
 Первый признак:
 Второй признак:
Некоторые свойства векторов
 Вычисление координат вектора по
координатам его начала и конца.
Некоторые свойства векторов
 Вычисление длины вектора и длины
отрезка
Некоторые свойства векторов
 Скалярное произведение векторов в
прямоугольной системе координат
Некоторые свойства векторов
 Признак перпендикулярности
векторов:
два ненулевых вектора
перпендикулярны тогда и только
тогда, когда их скалярное
произведение равно нулю.
Некоторые свойства векторов
 Вычисление угла между векторами.
Некоторые свойства векторов
 Вычисление площади
параллелограмма, построенного на
двух векторах.
Уравнения прямой и отрезка
 Параметрические уравнения прямой.
Уравнения прямой и отрезка
 Канонические уравнения прямой.
Уравнения прямой и отрезка
 Общее уравнение прямой.
Уравнения прямой и отрезка
 Условие перпендикулярности двух
прямых, заданных как графики
линейных функций.
Уравнение окружности
Примеры решения задач
Задача 1. Дана прямоугольная
трапеция с основаниями a и b.
Найдите расстояние между
серединами ее диагоналей.
Решение. 1. Введем систему координат как указано на рисунке 3. Тогда
вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0).
(y – высота трапеции, АВ).
0b b
0 y y
x


;
y


2. Найдем координаты середин
O
O
2
2
2
2
диагоналей. Для точки О,
0a a
0 y y
x


;
y


O1
O1
для точки О1:
2
2
2
2
.По
формуле найдем расстояние между
точками О и О1:
.
.
Примеры решения задач
Задача 2. Медиана, проведенная к основанию
равнобедренного
треугольника, равна 160 см, а основание
треугольника равно 80 см.
Найдите
две
другие
медианы
этого
треугольника.
Решение. 1. Введем прямоугольную систему
координат так, как показано на рисунке 4. В этой
системе вершины треугольника будут иметь
координаты:
А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка М2(0,0).
0  (40)
160  0
xM 3 
 20; yM 3 
 80
2
2
0  40
160  0
xM1 
 20; yM1 
 80
2
2
Вычислим длины отрезков АМ1 и СМ3, используя формулу (6). Для АМ1 получим:
AM1  (20  (40))2  (80  0) 2  100 (см)
AM1  CM 3  100 (см)
Примеры решения задач
Задача 3. В прямоугольном
равнобедренном треугольнике
проведены медианы острых углов.
Вычислите косинус угла между ними.
Решение. 1. Введем систему координат так, как
показано на рисунке 5. В этом случае Вершины
треугольника будут иметь координаты: С(0,0), А(а,0),
В(0,а), а середины катетов (Здесь а – длина катета.):
a   a
B1  , 0  ; A1  0, 
2   2
2. По формуле (4) вычислим координаты векторов
a
a

 
AA1   0  a;  0    a; 
2
2

 


cos AA1 , BB1 
a
 a

BB1    0;0  a    ; a 
2
 2

a a
(a)    ( a)
2 2
2
2
a
a
(a)        ( a) 2
2
2
2

4
5
МЕТОД КООРДИНАТ В
ПРОСТРАНСТВЕ
Основные формулы
 Координаты вектора по координатам его начала и
конца определяются так: если М1(x1,y1,z1),
M2 (x2, y2, z2), то
= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Основные формулы
 Скалярное произведение векторов = (а1, а2, а3) и =
(b1, b2, b3) в координатах равно:
 
a  b = a1  b1 + a2  b2 + a 3  b3
Основные формулы
 Длина вектора = (а1, а2, а3)
вычисляется по формуле
Основные формулы
 Угол между векторами = (а1, а2, а3) и =
(b1, b2, b3) из определения скалярного
произведения
   
 
a  b = a  b  cos( a , b )
Основные формулы
 Угол между векторами = (а1, а2, а3) и =
(b1, b2, b3) из определения скалярного
произведения
=
=
Основные формулы
 Расстояние между двумя различными
точками М1(x1,y1,z1) и M2 (x2, y2, z2)
равно

=
=
Основные формулы
 Уравнение сферы с центром в точке
С(x0,y0,z0) и радиусом r имеет вид:
 (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2
Основные формулы
 Координаты точки М(x,y,z) – середины отрезка
М1М2, где М1(x1,y1,z1) и
 M2 (x2, y2, z2), М1 ≠ М2 находятся по формулам:
Основные формулы
 Условие коллинеарности векторов =
(а1, а2, а3) и = (b1, b2, b3) имеет вид
Примеры решения задач
Задача

1.
  
R  0, i , j , k

В системе координат
написать уравнения прямой d,
заданной
1) точкой М0 = (x0, y0, z0)  d и

направляющим вектором a  (a1 , a2 , a3 )
;
2) двумя
различными
точками
М1(x1,y1,z1)  d и M2 (x2, y2, z2)  d.
Рисунок 1

M 0 M =(x–x0,y – y0, z – z0), то
y  y0
x  x0
z  z0
=
=
a2
a1
a3
……………………
Примеры решения задач
Задача 4. Найти угол между прямой d и плоскостью π в системе координат
  
R  0, i , j , k , если известны уравнения этой прямой и плоскости:
d:
x  x1
z  z1
y  y1
=
=
;
a1
a3
a2
π: Ax+ By+Cz+D = 0 , где А2+В2+С2 ≠ 0.
Алгоритм применения метода координат к
решению геометрических задач сводится к
следующему:
 Выбираем в пространстве систему координат из
соображений удобства выражения координат и
наглядности изображения.
 Находим координаты необходимых для нас точек.
 Решаем задачу, используя основные задачи
метода координат.
 Переходим от аналитических соотношений к
геометрическим
Примеры решения задач
Задача 5. В прямоугольном
параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра имеют
следующую длину: AB=8, AD=6, AA1=12.
Пусть М – середина отрезка DA1, а F –
центр стороны BC.
1.Введите систему координат, с началом в
точке А и координатными осями,
направленными по лучам AB, AD, и AA1соответственно, и определите
координаты всех вершин параллелепипеда
и точек M и F.
2.Составьте уравнения прямых FD1 и BM.
3.Определите угол между этими прямыми.
4.Найдите координаты вектора,
перпендикулярного плоскости AD1F.
5.Определите угол между этой
плоскостью и прямой BM.
Рисунок
Примеры решения задач
Решение.
1).
Определить
координаты
вершин
параллелепипеда в предложенной
системе координат несложно: у
нижних вершин: A(0,0,0), B(8,0,0),
C(8,6,0), D(0,6,0). Для верхних
вершин две первых координаты
совпадают с координатами нижних,
а третья равна 12: A1(0,0,12),
B1(8,0,12), C1(8,6,12), D1(0,6,12).
Найдем теперь координаты точек M
и F. Используем известную из 9
класса формулу для вычисления
координат середины отрезка. Для
этого нужно взять полусуммы
соответствующих координат концов
отрезка. Получим:
 0  0 0  6 12  0 
M :
,
,
  (0,3,6) ,
2
2
2


88 06 00
F :
,
,
  (8,3,0) .
2
2 
 2
Рисунок 1
Примеры решения задач
2)
Составим уравнения прямых, используя формулы (11):
x  0 y  6 z  12
x  0 y  6 z  12





,
8  0 3  6 0  12
8
3
 12
x 0 y 3 z 6
x 0 y 3 z 6





BM:
.
80 03 06
8
3
6
FD1:
3)
Угол между прямыми определим как угол между их направляющими
векторами с помощью формулы
(12). Учитывая, что направляющие векторы имеют


координаты: a  8,3,12, b  8,3,6.
cosφ= cos  =
a1b1  a2b2  a3b3
a a a  b b b
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
cosφ 

8  8  (3)( 3)  (12)( 6)
8  (3)  (12)  8  (3)  (6)
2
2
145
.
217  109
2
2
2
2
,
Примеры решения задач
4) Найдем координаты вектора, перпендикулярного плоскости AD1F. Для этого
используем признак перпендикулярности векторов: два вектора перпендикулярны,

если их скалярное произведение равно нулю. Пусть интересующий нас вектор n
имеет координаты {x,y,z}. Векторы AD1 и AF лежат в интересующей нас
плоскости, и имеют координаты {0,6,12} и {8,3,0} соответственно. Используем
формулу (3) для вычисления скалярных произведений в координатах, приравняем
эти произведения к нулю и получим систему уравнений:
0 x  6 y  12 z  0
3
, выразим в этой системе x и z через y: x   y,

8
 8x  3 y  0 z  0
1
z   y . Как мы
2
видим, получилось множество векторов, перпендикулярных данной плоскости,
координаты которых зависят от параметра y. Выберем один из них, положив, для

удобства, что y=-8. Итак n ={3,-8,4}.
5) Нам осталось определить угол между прямой BM и плоскостью AD1F. Для этого
мы используем формулу (16): sin  
Aa1  Ba 2  Ca3
. Здесь A,B и С – по
A  B C a a a

сути, координаты вектора
n ={3,-8,4}, а {a1,a2,a3} – координаты направляющего

вектора прямой BM: b  8,3,6. Подставив все эти значения в формулу, получим:
Aa1  Ba 2  Ca3
3  8  (8)( 3)  4(6)
sin  

A2  B 2  C 2 a12  a22  a32
32  (8) 2  4 2 82  (3) 2  (6) 2
sin  
12
.
89 109
2
2
2
2
1
2
2
2
3
Примеры
решения задач
 Многие задачи в математике решаются методом
координат, суть которого состоит в следующем:
 Задавая фигуры уравнениями (неравенствами) и
выражая в координатах различные
геометрические соотношения, мы применяем
алгебру к решению геометрических задач;
 Пользуясь координатами, можно истолковывать
алгебраические соотношения геометрически,
применяя геометрию к решению алгебраических
задач.
СПАСИБО
ЗА
ВНИМАНИЕ!