1. Декартова система координат в пространстве и на

Декартова система
координат в пространстве и
на плоскости.
Полярная система
координат на плоскости.
Прямая на плоскости.
Кривые второго порядка
Опр.: Упорядоченные координатные оси, не
лежащие в одной плоскости и имеющую одну
общую точку, называются косоугольной
системой координат в пространстве.
Если координатные оси взаимно
перпендикулярны, то косоугольную систему
координат называют прямоугольной
системой координат Декарта в
пространстве и обозначают хуz.
Опр.: Множество упорядоченных троек чисел в
избранной системе координат называется
трехмерным пространством.
Элементы системы координат:
z
z1
P(х1; у1; z1)
у1 у
х1
х
координатные плоскости Оху, Оуz,
Охz;
оси координат: Ох – ось абсцисс, Оу –
ось ординат; Оz – ось аппликат.
Точка О – начало координат;
упорядоченная тройка чисел (х; у; z) –
координаты произвольной точки Р.
у
у1
0
Р(х1; у1)
х1
х
Частным случаем является система
координат на плоскости, например
координатная плоскость Оху.
у
Р (х1; у1)
r
φ
0
А
  АОˆ Р
r  ОР
Рr ; 
х
Точка на плоскости может быть
задана полярной системой координат,
при этом положение точки Р
описывается углом поворота
положительной полуоси Ох против
часовой стрелки до положения луча
ОР и расстоянием точки Р от начала
координат.
Из Δ АРО, где А  90 , имеем:
0
r  х 2  у 2
1
1


y1
  аrctg ;
х1

 х1  r cos 

 y1  sin 
и
Примеры
1) Задать точку плоскости А (-1; 1) в полярных
координатах.
Решение. r=
(1) 2  12  2 ,

  аrctg (1)  аrctg1  

4
( 2 ; )
Таким образом А
4
2) Задать точку плоскости В (0,5; π/4) в декартовых
координатах.
Решение.
3
х1=0,5cosπ/6 =0,5
 0,25 3
2
у1=0,5sin π/6= 0,5·1/2 .
Таким образом В (0,25 3 ; 0,25)
Прямые на плоскости
Прямая на координатной плоскости может быть
получена в результате пересечения произвольной
плоскости
Ах + Ву + Сz + D = 0
и координатной плоскости.
Составим уравнение прямой, принадлежащей,
например, плоскости хОу. Эта прямая определяется
системой двух уравнений:
 Ах  Ву  Сz  D  0  Ах  Ву  D  0
или 

z  0
z  0
Таким образом Ах + Ву + С = 0 (*) – общее уравнение

прямой на координатной плоскости, причем n (А; В)
является нормальным вектором этой прямой.
n
L
Опр.: геометрическое место точек, удовлетворяющее
уравнению (*), называется прямой.
х у
l :   1 - уравнение прямой в отрезках на осях
а в
у
b
а
0
L
у
L
М1(х1;у1) М2(х2;у2)
х  х1
у  у1
- уравнение прямой,
l:

х2  х1 у2  у1проходящей через две точки
у
L
b
φ
0
х
L: у= kх+b, где k= tgφ – уравнение прямой с
угловым коэффициентом;
L: у – у1= k (х – х1) – уравнение прямой с угловым
коэффициентом, проходящей через т. М (х1; у1).
Угол между прямыми
Пусть прямые заданы уравнением
А1х + В1у + С1 =0 и А2х + В2у + С2 =0
Угол между этими прямыми найдем из формулы:
cоо 
А1 А2  В1 В2
А В  А В
2
1
2
1
2
2
2
2
Если прямые заданы уравнением с угловыми
коэффициентами, то угол между ними находим по
формуле:
k 2  k1
tg 
1  k1k 2
y
L2
L1
φ
0
х
Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых:
А1 В1
L1||L2, если
или k1=k2

А2 В2
L1 L2, если А1А2= -В1В2 или k1k2= -1
Примеры
1. Определить острый угол между прямыми у = 3х + 1 и у = -2х – 5.
Решение. Полагая k1= 3 и k2= -2 и применяя формулу (1), получим
tg  = -2–3/1+(-2)3= -5/-5= 1, т.е.  = /4= 0,785 рад.
2. Показать, что прямые 7х + 3у – 5 = 0 и 14х + 6у + 1 = 0 параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым
коэффициентом, получаем:
у= -7/3х+5/3 и у= -7/3х+1/14.
Угловые коэффициенты этих прямых равны: k1= k2= -7/3, т. е. прямые
параллеьны.
3. Даны вершины треугольника А (-5; 0), В (-3; -2) и С (-7; 6). Найти
уравнения высот треугольника AD, BN и CM.
Решение. По формуле (4) найдем угловой коэффициент стороны ВС:
kВС= 6+2/-7–(-3)= 8/-4= -2.
В силу перпендикулярности прямых AD и BC kAD= -1/kВС, т. е. kAD= ½.
Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид:
у–0= ½(х+5) или х–2у+5= 0.
Линии второго
порядка на
плоскости
Линии второго порядка на плоскости.
• Общее уравнение линии второго порядка на
плоскости:
• а11х2 + а22у2 + 2а12ху + а10х + а20у + а00 = 0, где
а211 + а212 + а222 ≠ 0, т. е. хотя бы одно из
чисел а11,а12,а22 не равно нулю.
• Окружностью называется геометрическое
место точек плоскости, равноудаленных от
данной точки (центра).
Каноническое уравнение окружности с центром в точке
М(х0;у0) и радиусом R.
( x  x0 )  ( y  y0 )  R
2
2
2
Уравнение окружности с центром в начале координат
x y R
2
2
2
• Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
расстояний каждой из которых до двух заданных точек этой
же плоскости, называемых фокусами, есть величина
постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
F1F2  2c
- фокальное расстояние, тогда фокусы будут
иметь следующие координаты: F1 (  c;0) и F2 (c;0)
r1 + r2 = 2а (const); a>c.
Выразим r1 =
( x  c)  y,
2
2
r2 =
( x  c)  y , тогда
2
2
аналитическое уравнение эллипса примет вид:
( x  c )  y  ( x  c )  y  2a
2
Обозначив
эллипса:
2
2
2
a 2  c 2  b 2, получим каноническое
2
2
x
y
 2 1
2
a
b
уравнение
Свойства эллипса
1.
2.
3.
4.
Эллипс – ограниченная кривая второго порядка.
Эллипс имеет вертикальную и горизонтальную оси
симметрии, а так же центр симметрии.
А1 А2 - большая ось (ОА1 - полуось), В1 В2 – малая ось
(ОВ1 - полуось).
А1, А2, В1, В2 - вершины эллипса, причем ОВ1  в, ОА1  а
c - называется эксцентриситетом эллипса,

a
b2
  1 2
a
,т.е. 0<
 <1;
 - характеризует: “вытянутость эллипса, т.е. отклонение
от окружности”.
 =1, значит x +y
2
2
= a2, где а – радиус окружности
a
5. Прямые x  
называются директрисами
(направляющими) 
r1
r2
т.о. имеем:

 , где d1= MN1 , d 2  MN 2
d1
d2
Пример:
2
2
Дан эллипс x  25 y
уравнения директрис.
2
 25
найти полуоси, эксцентриситет,
2
x
y
x  25 y  25, 
 1, т.о. _ а  5, в  1.
25 1
2
2
12
24 2 6
  1 2 

 эксцентриситет
5
25
5
5
25
x

 уравнения _ директрис.
2 6 /5
2 6
Гипербола
Определение:
Гиперболой
называется
множество точек плоскости, модуль разности
расстояний каждой из которых до двух данных
точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная.
F1F2  2c, тогда фокусы будут иметь координаты F1(-c;0) и
F2(c;0).
r1  r2  2a(const ); a  c.
( x  c) 2  y,2тогда
Выразим r1 = ( x  c )  y, r2 =
аналитическое уравнение гиперболы примет вид:
2
2
( x  c )  y  ( x  c )  y  2a
2
Обозначив
гиперболы:
2
a2  c2  b2
2
2
, получим каноническое уравнение
2
2
x
y


1
2
2
a
b
Свойства гиперболы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Гипербола – неограниченная кривая второго порядка.
Гипербола обладает центральной симметрией.
А1, А2 – действительные вершины гиперболы; ось 2а –
действительная, 2b – мнимая.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется
основным прямоугольником гиперболы. в
Гипербола имеет две асимптоты: y   х
Эксцентриситет гиперболы:
в2
причем   1  2 , т.е. _   1
а
7.
Прямые
х
а

r1 r2


причем
d1 d 2
с
 ,
а
a
- называется директрисами гиперболы
Примеры: Дана гипербола 16х2 – 9у2 = 144, найти:
полуоси а и b; фокусы; эксцентриситет; уравнения
асимптот; уравнения директрис.
16х2 – 9у2 = 144
1. 16 x 2
9 y2
x2 y 2

1

 1  a  3; b  4
144 144
9 16
2. b  a  c  c  25  c  5; F1 (5;0) _ и _ F2 (5;0)
c
5
3.     
a
3
2
2
2
b
4
4. y   x  y   x
a
3
a
3
9

5. x    x  

5/3
5
Парабола
Определение:
параболой
называется
множество точек плоскости, равноудаленных
от фиксированной точки плоскости(фокус F) и
фиксированной прямой (директриса d).
FА  p  параметр _ параболы ; MB  MF
d – директриса параболы.
p
F ( ;0)  фокус _ параболы
2
Выразим
p
p 2
MB  x  , MF  ( x  )  y 2 ,тогда
2
2
аналитическое уравнение параболы примет вид:
p 2
p 2
2
(x  )  (x  )  y
2
2
таким образом получим каноническое уравнение параболы:
x  2 py или
2
y  2 px
2
Свойства параболы
1.
2.
Парабола – неограниченная кривая второго порядка,
расположенная в правой или верхней полуплоскости .
Парабола имеет одну ось симметрии – ось абсцисс или
ось ординат.
Пример: Установить, что уравнение у2 = 4х – 8
определяет параболу, и найти координаты ее вершины А,
величину параметра р и уравнение директрисы.
1.
у2 = 4х – 8
Представим уравнение в каноническом виде: у2 = 4(х - 2)
вершина параболы смещена вдоль оси ОХ вправо на две
единицы.
А(2;0) – координаты вершины параболы.
2.
2р = 4
3.
p
x   x  1 - уравнение директрисы параболы.
2

р = 2 – параметр параболы.