Равновеликие фигуры

Задача 1.
Начертить параллелограмм. Покажите на
какие две части нужно его разрезать, чтобы
затем сложить из них прямоугольник.
Задача 2.
Нарисуйте трапецию. Покажите:
• а) на какие две
части нужно
разрезать, чтобы
затем сложить из
них прямоугольник;
• б) на какие три части
нужно её разрезать,
чтобы затем
сложить из них
прямоугольник.
Задача 3.
Разрежьте равнобедренный треугольник на такие две части, чтобы
из них можно было сложить: а) прямоугольник;б) параллелограмм
• а)
б)
в)
.
Задача 4.
Нарисуйте прямоугольник, одна сторона которого в два раза
больше другой. Покажите:
• а) на какие две
части нужно его
разрезать, чтобы
затем сложить из
них прямоугольный
треугольник;
• б) на какие три части
нужно его разрезать,
чтобы затем из них
сложить квадрат.
Задача 5.
Разрежьте прямоугольник на такие части, чтобы из них можно
было составить равновеликий ему квадрат.
•
b
x=√ab
a
a
o
x
b
x
x²=ab
x
x
.
Задача 6
Разрежьте греческий крест на такие части, чтобы из них можно
было составить равновеликий ему квадрат.
• Греческий крест – это многоугольник,
составленный из пяти равных
квадратов.
Задача 7.
Разрежьте квадрат на такие части, чтобы из них можно было
сложить равновеликий ему греческий крест.
• Квадрат и греческий крест
.
Задача 8
Из греческого креста вырезан квадрат, равный одному из
квадратов, из которого сложен крест. Разрежьте оставшуюся часть
креста на такие части, чтобы из них можно было составить
равновеликий ей квадрат.
•
(Продолжение каждой стороны вырезанного квадрата проходит через
соответствующую вершину)
A
C
B
D
C B
D
A
Задача 9.
Разрежьте греческий крест на такие части, чтобы одна из частей была
греческим крестом меньшего размера, а из остальных можно было бы
сложить квадрат.
• I часть решения: раскроим
центральный квадрат
греческого креста на такие
части, чтобы можно было
сложить из них греческий
крест.
• II часть решения: от
квадратов 1-4 отрежем
необходимые для нового
греческого креста части.
В результате получим
решение:
1
2
1
2
4
3
3
3
3
3
3
4
Задача 10.
Даны два равных равнобедренных треугольника. Разрежьте эти фигуры
на такие части, чтобы можно было составить равновеликий им квадрат.
• I этап: перекраивание двух
равных равнобедренных
треугольников в
равновеликий им
прямоугольник;
а)
б)
• II этап: перекраивание
прямоугольника в
равновеликий ему квадрат
(задача № 5).
Задача 11.
Даны два квадрата, один со стороной а, другой со стороной b. Разрежьте
эти квадраты на такие части, чтобы из них можно было составить
равновеликий им квадрат.
• Площадь: a²+b²
b
а
• Площадь нового квадрата
а²+b². Сторона √a²+b² гипотенуза прямоугольного
треугольника с катетами
а и b.
b
aa
a
a
b
b
а
a
aa
b
Задача 12.
Даны квадрат со стороной а и равнобедренный прямоугольный
треугольник с катетом b. Разрежьте эти фигуры на такие части, чтобы из
них можно было составить равновеликий им квадрат.
• Площадь нового квадрата
а²+b²/2, значит, сторона
нового квадрата √а²+b²/2, т.е.
она является гипотенузой
треугольника с катетами
• a и b/ √2.
• S=a²+b²/2
а
b
b
b
b/√2
a
a
Задача 13.
Как шестью греческими крестами оклеить поверхность куба,
каждая грань которого равновелика кресту?
• Крест надо накладывать на грань точно таким же образом, как
было показано в задаче № 6, однако, обрезать и перекладывать
«торчащие ушки» не надо – они, загибаясь, переходят на
соседнюю грань и оказываются в нужных местах.
B'
A'
D'
A'
C'
D'
C
A
D
A
D
Задача 14.
Квадрат 8х8 разрезан на четыре части, как показано. Из полученных
частей составлен прямоугольник 13х5. Площадь прямоугольника равна
65, а площадь квадрата – 64. Где ошибка?
• S=64
3
• S=65
5
5
5
5
8
3
3
5
5
3
3
3
8
8
5
Задача14. Решение.
•
Рассмотрим сначала большой прямоугольный треугольник и найдём значение
тангенса угла CAD: tg(CAD)=5/13=0.385. Теперь рассмотрим маленький
прямоугольный треугольник и найдём значение тангенса этого же угла:
3/8=0.375. Значения тангенсов не совпадают. Это означает, что гипотенуза
маленького прямоугольного треугольника и боковая сторона трапеции не лежат
на одной прямой, а являются звеньями ломаной. Аналогично доказывается, что
гипотенуза другого маленького прямоугольного треугольника и боковая сторона
другой трапеции не лежат на одной прямой. Следовательно, площадь
прямоугольника равна сумме площадей фигуры, составленной из частей
квадрата и чёрной щели.
B
5
5
8
C
3
5
3
AA
8
D
5
55