У т в е р ж д е н и е 2.

63-я МОЛОДЁЖНАЯ
НАУЧНАЯ
КОНФЕРЕНЦИЯ
Тема доклада:
ДРЕВНЕЙШАЯ ЗАДАЧА — ЗАДАЧА ДИДОНЫ
Столько купили земли и дали ей имя Бирса,
Сколько смогли окружить бычьей шкурой.
Вергилий. Энеида
Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой — круг.
Пифагор
Миф о Дидоне
В римской мифологии есть легенда о Дидоне. Согласно этой легенде,
Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца Геракла Акербаса.
После того как брат Дидоны Пигмалион убил ее мужа, позарившись на
его богатства, Дидона была вынуждена бежать. Захватив с собой часть
сокровищ мужа, она в сопровождении многочисленных спутников
отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря. Ей
приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива.
Дидона повела переговоры с берберийским царем Ярбом о продаже
земли. По условию она могла взять столько земли, сколько можно
«окружить бычьей шкурой». Сделка состоялась. Тогда Дидона
разрезала эту шкуру на тонкие ремни, связав их воедино, и окружила
изрядный кусок земли. На этом месте был основан город Карфаген
Бирсу. (По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».)
Так гласит легенда.
Этот эпизод дает повод задуматься над вопросом: сколько же земли
можно окружить бычьей шкурой?
Формулировка задачи Дидоны или
классической изопериметрической
задачи:
Среди замкнутых плоских
кривых, имеющих заданную
длину, найти кривую,
охватывающую максимальную
площадь.
Решим задачу экспериментально. Для этого возьмем
фигуры с фиксированным периметром в 50 см, и
вычислим их площади
Круг
199
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
177
156,25
Правельный
шестиугольник
110
107,5
Квадрат
Равносторонний
треугольник
Площади фигур, см2
Равнобедренный
прямоугольный
треугольник
Из перечисленных фигур, имеющих равный периметр
наибольшую площадь имеет к р у г .
У т в е р ж д е н и е 1. Фигура наибольшей площади с
заданным периметром – выпуклая. В противном случае
мы могли бы построить кривую с тем же периметром, но
уже с большей площадью.
Заменив дугу АВА’
зеркальным отображением
относительно прямой АА’
получили новую фигуру
большей площади при том
же периметре
У т в е р ж д е н и е 2. Если прямая делит периметр
фигуры наибольшей площади пополам, то она делит
пополам и площадь фигуры.
Заменим меньшую часть
фигуры большей ее частью,
отразив большую
относительно АВ и получим
фигуру с тем же периметром,
но уже с большей площадью.
У т в е р ж д е н и е 3. Пусть снова точки A и B делят длину
экстремальной линии пополам и C — любая точка кривой.
Тогда угол ACB — прямой.
Пусть имеется точка C такая, что угол ACB не
является прямым. Площадь, ограниченная
дугой ACB и диаметром AB, разбивается на три
части: треугольник ABC и сегменты,
прилегающие к сторонам AC и CB. Так вот,
представим теперь себе, что в точке C у нас ш
а р н и р, соединяющий эти два сегмента.
.Раздвинем. сегменты так, чтобы угол ACB’
стал прямым
Тогда площадь, ограниченная дугой ACB’
увеличится, ибо из всех треугольников с
заданными боковыми сторонами наибольшую
площадь имеет прямоугольный треугольник
(так как SABC= 0,5 · |AC| · |BC| · sinC ≤
0,5|AC| · |BC| и равенство достигается, если
угол равен 90°). А теперь отразим полученную
фигуру относительно AB’. В итоге приходим к
фигуре с тем же периметром и большей
площадью. Утверждение доказано.
Мы пришли к следующему: фигура с наибольшей площадью при
фиксированном периметре – это множество точек С, из которых хорд
АВ’, делящая длину экстремальной линии пополам, видна под углом 9
т.е. эта кривая – окружность.