Презентация Задача Дидоны

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
основная общеобразовательная школа
города Кирсанова Тамбовской области
Исследовательская работа на тему:
«Окружность и круг (задача Дидоны)»
Выполнила: Новосельцева Юлия,
ученица 9ª класса
Руководитель: Карташова Елена
Васильевна, учитель математики
2015
Задача Дидоны
.
В римской мифологии есть
легенда о Дидоне.
Согласно этой легенде, Дидона
была дочерью царя Тира и
женой жреца Геракла Акербаса.
После того как брат Дидоны Пигмалион убил ее мужа, позарившись
на его богатства, Дидона была вынуждена бежать. Захватив с собой часть
сокровищ мужа, она в сопровождении многочисленных спутников
отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря. Ей приглянулось
одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела
переговоры с берберийским царем Ярбом о продаже земли. По условию
она могла взять столько земли, сколько можно «окружить бычьей
шкурой». Сделка состоялась. Тогда Дидона разрезала эту шкуру на тонкие
ремни, связав их воедино, и окружила изрядный кусок земли. На этом
месте была основана цитадель Карфагена Бирса. (По-гречески «бирса» как
раз и означает «снятая шкура»)
Так гласит легенда.
Гипотеза: если определенную территорию огородить шкурой вола,
то на ней можно построить крепость.
Объект исследования: изопериметрическая задача.
Предмет исследования: приемы решений задачи Дидоны
Цель исследования: расширить знания об изопериметрических
задачах.
Задачи:
выявить математические средства для решения проблемы;
решить задачу, провести некоторые эксперименты для решения
этой задачи.
Методы исследования:
изучение литературы и Интернет-ресурсов,
анализ и классификация информации,
экспериментирование, сравнение, обобщение, аналогия.
Изопериметрические задачи
Задача Дидоны относится к изопериметрическим задачам, то есть к
задачам на нахождение фигур заданного периметра, имеющих
наибольшую или наименьшую площадь.
?
Эксперимент №1
Рассчитать площади фигур с одним и тем же периметром.
1. Площадь круга, если С=50 см. (С – длина окружности)
Используем формулы S = π∙R2, С = 2π∙R. Тогда R=C:2π, S = С2 : 4π, S = 199 см2.
2. Площадь полукруга, если l = 50 см. (l –длина полуокружности)
Используем формулу S = π∙R2, C=l∙2= 100см, R =C:2π, S = С2 : π. Значит, Sполукр=0,5∙Sкр
=398 см2.
3. Площадь квадрата, Р = 50 см. (Р - периметр квадрата)
Используем формулы S = а2, Р = 4а. Тогда а=Р:4, S = Р2 :16, S = 156,25 см2.
4. Площадь шестиугольника, Р = 50 см. (Р - периметр шестиугольника)
Используем формулы
, Р = 6а. Тогда а=Р:6, S = 177 см2.
5. Площадь равностороннего треугольника, Р = 50 см. (Р - периметр треугольника)
Используем формулы
Р = 3а. Тогда а=Р:3, S = 110 см2.
6. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, Р = 50 см.
(Р - периметр треугольника)
Используем формулы S = 0,5∙ a2, Р = 2а+с. Тогда S = 107,5 см2.
Статистические данные эксперимента №1
Площади (см²)
110
199
круг
107.5
правильный шестиугольник
квадрат
177
полукруг
равнобедренный прямоугольный
треугольник
398
156.25
равносторонний треугольник
Вывод: из перечисленных фигур, имеющих равный периметр,
наибольшую площадь имеет полукруг, т.е. нить, охватывающую
наибольшую площадь, надо положить так, чтобы получилась
полуокружность.
Эксперимент № 2
Из данных фигур равной площади выявить фигуру с наименьшим
периметром.
Статистические данные эксперимента №2:
периметры фигур равной площади (1 см2).
6
5
4
3
2
1
0
Вывод:
Из всех перечисленных фигур полукруг имеет наименьший
периметр.
Эксперимент № 3
Можно ли в листе бумаги размером с обычную страницу из тетради проделать такое
отверстие, чтобы сквозь него мог пройти человек?
Схема разрезания листа
Вычислить площадь фигуры
Решение:
Рассмотрим несколько дуг одной фиксированной длины и отметим на
них точку М. Проведем хорды АМ и ВМ. Площадь фигуры будет
зависеть от площади треугольника АМВ.
М
S=½ AM* MB*sin AMB
Если 0ᵒ<˪AMB<90ᵒ,то 0<sin AMB<1;
Если 90ᵒ<˪АМВ<180ᵒ, то 0<sin AMB<1;
В
А
Если ˪АМВ=90ᵒ,то sin90ᵒ=1;
Поэтому наибольшую площадь будет иметь
М
полуокружность.
М
А
А
В
В
Решение задачи Дидоны
Площадь шкуры равна 35800 см². Разрежем ее на полоски шириной 0,5
см, тогда длина полуокружности равна будет 71600 см или 716 м.
С=2πR, C:2=πR, R=716:3,14≈228(м)
Sкруга=πR², S круга =3,14∙228²≈163230(м²)
S полукруга=Sкруга: 2=81615(м²)
Вывод
Гипотеза, что если определенную территорию огородить шкурой
вола, то на ней можно построить крепость – верна.
На площади 81615 м² действительно можно построить
крепость.
Задача Дидоны известна 3000 лет и никто не сомневался в ответе, но
строго доказать его удалось лишь только в конце ХΙХ века.
Над ней трудились многие ученые, в том числе и эти:
Якоб Штейнер
18 марта 1796 - 1 апреля 1863, швейцарский
математик, основатель синтетической геометрии кривых
линий и поверхностей 2-го и высших порядков.
Огюстен Луи Коши
великий французский математик и механик, член Парижской
академии наук, Лондонского королевского общества,
Петербургской академии наук и других академий
: 21 августа 1789 г - 23 мая 1857 г. (67 лет
Уильям Кельвин
Уильям Кельвин является автором многих
теоретических работ по физике, он изучал явления
электрического тока, динамической геологии.
26.06.1824 года - 17.12.1907 года
Список источников
1. А.Б. Крыжановский «Изопериметры» М. – Л.,Физматлит, 1959 г.
2. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010
3. С. Н . Олехин «Старинные занимательные задачи». Дрофа, Москва 2006.
4. Я. И. Перельман «Живая математика». Москва «Наука» 1978 г.
5. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: Кн. для учащихся 5–7
кл. –М.: Просвещение, 2010.
6. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. — 2-е изд.,
исправленное. — М.: МЦНМО, 2006.
7. Шарыгин Д. Миф о Дидоне и изопериметрическая задача. «Квант» №1,
1997г.
8. http://naukoved.ru
9. http://kvant.mccme.ru
10. http://goo.gl/PeqffB
11. http://philipok4.narod.ru/Tuser7/Starinnye_zadachi.pdf