Паросочетания в двудольных графах Лекция 8

Паросочетания в двудольных
графах
Лекция 8
Паросочетание
• Паросочетанием в графе G называется
множество попарно несмежных ребер.
Задача «Максимальное
Паросочетание»
• Дан граф G.
• Найти паросочетание в G
максимальной мощности.
Совершенное паросочетание
Определение 8.1.
• Пусть G ― граф и M ― паросочетание в G.
Будем говорить, что вершина v покрыта M,
если v  e для некоторого e  M .
• M называется совершенным паросочетанием,
если все вершины покрыты M.
Биразбиение
• Биразбиением графа G называется
разбиение множества вершин на два
подмножества, V(G)=A⋃B, такое что
подграфы индуцированные на A и B
― оба пустые.
• Граф называется двудольным, если он
имеет биразбиение.
Паросочетание в двудольном графе
• Для графа G, пусть (G) обозначает
мощность максимального паросочетания,
а (G) ― мощность минимального
вершинного покрытия в G.
Теорема 8.2 (König [1931])
Если G ― двудольный, то (G) = (G).
Доказательство
• G' = (V(G)⋃{s,t}, E(G)⋃{{s,a}: a  A}⋃ {{b,t}: b  B})
• (G) – максимальное число вершинно-непересекающихся
s-t-путей.
• (G) – минимальное число вершин удаление которых
разделяет вершины s и t.
Вторая Теорема Менгера
Theorem 7.2 (Menger [1927] )
Пусть G ― граф (ориентированный или
неориентированный), пусть s и t две несмежные
вершины и k N. Тогда существует k вершиннонепересекающихся s-t-путей, тогда и только
тогда, когда после удаления любых k – 1 вершин
(отличных от s и t) t остается достижима из s.
Доказательство
• G' = (V(G)⋃{s,t}, E(G)⋃{{s,a}: a  A}⋃ {{b,t}: b  B})
• (G) – максимальное число
вершинно-непересекающихся s-t-путей.
• (G) – минимальное число вершин удаление
которых разделяет вершины s и t.
• 2-я теорема Менгера  (G) = (G).
Теорема Холла
Теорема 8.3 (Hall [1935] )
Пусть G ― двудольный граф с биразбиением
V(G) = A⋃B. Тогда G имеет паросочетание,
покрывающее A, тогда и только тогда, когда
|(X)| ≥ |X| для всех X  A.
((X) – множество вершин соседних с X.)
Доказательство (достаточность)
• Пусть G не имеет паросочетание,
покрывающее A ((G) < |A|).
• Теорема 8.2  (G) < |A|.
• Рассмотрим A'  A и B'  B, такие что A' ⋃ B'
покрывают все ребра и | A' ⋃ B' | < | A |.
• Тогда (A /A' )  B'.
•  | (A /A' ) | ≤ |B'| < | A | – | A' | = |A /A' |, что
противоречит условию теоремы.
Теорема о бракосочетаниях
Теорема 8.4 (Frobenius [1917] )
Пусть G ― двудольный граф с
биразбиением V(G) = A⋃B. Тогда G
имеет совершенное паросочетание,
тогда и только тогда, когда |A| = |B| и
|(X)| ≥ |X| для всех X  A.
Паросочетание в двудольном графе
Теорема 8.5
Задача «Максимальное Паросочетание» в
двудольном графе G может быть решена за
время O(nm), где n = |V(G)| и m = |E(G)|.
Справка
• Используя идею о кратчайшем
увеличивающем пути можно получить
алгоритм с трудоемкостью O(n0.5(m + n))
(Hopcroft & Karp 1973).
M- увеличивающий путь
• Определение 8.6
Пусть G ― граф, и M ― паросочетание в G.
Путь P называется M-чередующимся путем,
если E(P) \ M является паросочетанием.
Чередующийся путь называется
M-увеличивающим, если его граничные
точки не покрываются M, то есть
| E(P) \ M | > | E(P) ∩ M |.
Пример M-увеличивающего пути
P:
M
E(P)\ M
Паросочетание
и увеличивающий путь
Theorem 8.7 (Berge [1957] )
Пусть G ― граф, и M ― паросочетание в G.
Тогда M является максимальным тогда и
только тогда, когда не существует
M-увеличивающего пути.
Доказательство
• Если M-увеличивающий путь P существует,
то симметрическая разность M∆E(P) будет
паросочетанием большей мощности.
• Если существует паросочетание | M '| > | M |,
то M∆M ' является вершиннонепересекающимся объединением путей и
циклов, один из которых является
увелличивающим.
Алгебраический подход
• Пусть G простой граф и пусть G' орграф,
полученный из G произвольной
ориентацией ребер.
• Для произвольного вектора x определим
матрицу Татта.
Матрица Татта
x   xe eE G 
 
TG  x   t
x
vw v , wV G 
 xv , w

x
tvw :  xv , w
 0

if v, w  E G 
if w, v   E G 
иначе
Паросочетание и матрица Татта
Теорема 8.8 (Tutte [1947] )
Граф G имеет совершенное паросочетание
тогда и только тогда, когда det TG(x) ≠ 0.
Доказательство
• V(G) = {v1,…,vn}
• Пусть Sn множество всех перестановок {1,…, n}.
det TG x  
n
x


sgn

t

 viv i 
 S n
i 1


x
S n    S n :  tvi v i   0
i 1


n
• Каждая перестановка π  S'n соответствует орграфу
Hπ = ( V(G),{(vi,vπ(i)): i = 1,…, n}), где ровно одна дуга
входит в каждую вершину и ровно одна дуга выходит
из нее. (Hπ  Ğ').
Пример Hπ
M
Hπ
vi
π(i)=j, π(j)=i.
vj
Доказательство
• Если существует перестановка π  S'n такая
что Hπ состоит только из четных циклов, то
в G есть совершенное паросочетание.
• Пусть это не так. То есть для каждой π  S'n
существует нечетный цикл.
• Тогда  r(π)  S'n такая, что Hr(π) получается
из Hπ обратной ориентацией дуг в первом
нечетном цикле (r(r(π)) = π).
Пример Hπ и Hr(π)
Hπ
Hr(π)
vj
vi
vi
vj
vk
vk
π(i)=j, π(j)=k, π(k)=i.
π(i)=k, π(j)=i, π(k)=j.
sgn(π)= sgn(r(π))
w1
Hπ
w2
w2k+1
w1,w2,w3, …, w2k,w2k+1
w2,w3,w4, …, w2k+1,w1
w1
Hr(π)
w2
w2k+1
w1, w2,w3, …, w2k,w2k+1
w2k+1,w1,w2, …, w2k-1,w2k
Одна перестановка получается из другой за 2к транспозиций.
Доказательство
n
n
i 1
i 1
x
t
 viv i    tvivr  i 
• Следовательно, два соответствующих этим перестановкам
слагаемые в сумме
det TG x  
n
x


sgn

t

 viv i 
 S n
взаимно сокращаются.
i 1
• Так как это выполняется для всех пар π и r(π), то det TG(x)≡0.
Вероятностный Алгоритм
Следствие 8.9 (Lovász [1979] )
Пусть x = (xe)eE(G) ― случайный
вектор, каждая координата которого
равномерно распределена в [0,1].
Тогда с вероятностью 1 ранг TG(x) в
точности равен 2(G).
Упражнение 8.1
• Пусть G произвольный граф, M1 и M2 два
максимальных паросочетания в нем.
Доказать, что | M1 | ≤ | M2 |.
Упражнение 8.2
• Доказать, что k-регулярный двудольный
граф имеет k попарно не пересекающихся
совершенных паросочетаний.