M-чередующаяся декомпозиция Лекция 10

M-чередующаяся декомпозиция
Лекция 10
Нечетная декомпозиция
Теорема 9.7 (Lovász [1972] )
Граф является фактор-критическим тогда и
только тогда, когда он имеет нечетную
декомпозицию. Более того, начальная
вершина в декомпозиции может быть
выбрана произвольна.
M-чередующаяся декомпозиция
Определение 10.1
• Даны фактор-критический граф G и почти
совершенное паросочетание M, M-чередующейся
декомпозицией графа G называется нечетная
декомпозиция, такая что каждое ушко является Mчередующимся путем.
Следствие 10.2 (из доказательства теоремы 10.17)
Для любого фактор-критического графа G и
любого почти совершенного паросочетания M
в G существует M-чередующаяся декомпозиция .
Эффективный способ хранения информации о
M-чередующейся декомпозиции
Определение 10.3 (Lovazs & Plammer 1986)
Пусть G ― фактор-критический граф и
M ― почти совершенное паросочетание в G.
Пусть r, P1,..., Pk ― чередующаяся декомпозиция
и , : V(G) → V(G) ― две функции.
Будем говорить, что  и  соответствуют
декомпозиции r, P1,..., Pk , если
• (x) = y, если {x, y}  M
•  (x) = y, если {x, y}  E(Pi)\ M и
x {r}UV(P1)U... UV(Pi–1),
• (r) = (r) = r.
и
M, E(Pi)\ M
P2
(x) = v
v
 (x) = w
 (w) = h
x
P3
 (h) = w
w
r
h
P1
Алгоритм построения
M-чередующейся декомпозиции
Input: фактор-критический граф G, функции , , соответствующие
M-чередующейся декомпозиции.
Output: M-чередующаяся декомпозиция r, P1,...,Pk .
1. Set X := {r}, где r: (r) = r ; k := 0 и стек (для ушек) ― пустой.
2. If X = V(G) then go to 5.
If стек непустой
then пусть v  V(G )\ X граничная точка последнего элемента стека
else выбрать произвольную v  V(G )\ X .
3. Set x:= v, y:= (v) и P:=({x,y},{{x,y}}).
While ((x)) = x do: set P:=P+{x,(x)}+{(x),((x))} и x:=((x)).
While ((y)) = y do: set P:=P+{y,(y)}+{(y),((y))} и y:=((y)).
Set P:=P+{x,(x)}+{y,(y)}. (P―ушко с y как внутренней вершиной).
Положить P в конец стека.
Алгоритм построения
M-чередующейся декомпозиции
4.
5.
While обе граничные точки последнего элемента P
в стеке лежат в X do: Удалить P из стека, set k:=k+1,
Pk:=P и X:=XUV(P).
Go to 2.
For всех {y,z}E(G)\(E(P1)U…UE (Pk)) do:
Set k:=k+1 и Pk :=({y, z},{{y, z}}).
Пример работы алгоритма
M, E(Pi)\ M
Set x:= v, y:= (v) и P:=({x,y},{{x,y}})
While ((x)) = x do:
set P:=P+{x,(x)}+{(x),((x))} и x:=((x)).
P2
While ((y)) = y do:
set P:=P+{y,(y)}+{(y),((y))} и y:=((y)).
Set P:=P+{x,(x)}+{y,(y)}
P3
r
P1
Свойство алгоритма
Утверждение 10.4
Пусть G ― фактор-критический граф и ,  ―
функции, соответствующие M-чередующейся
декомпозиции. Тогда эта декомпозиция единственна
с точностью до порядка ушек. Алгоритм построения
M-чередующейся декомпозиции корректно
определяет список
ушек за линейное время.
Функции , 
Лемма 10.5
Пусть G ― фактор-критический граф и ,  ―
функции, соответствующие M-чередующейся
декомпозиции. Пусть r ― вершина, не покрытая
M. Тогда максимальный путь, заданный
последовательностью
x, (x), ((x)), (((x))), ((((x)))),... ,
определяет M-чередующийся x-r-путь четной
длины для всех x  V(G)\{r}.
Доказательство
• Пусть x  V(G)\{r} и пусть будет первое ушко,
которое содержит x.
• Тогда начало последовательности (x, (x), ((x)),
(((x))), ((((x)))),...) это путь Q  P из x в y,
где y {r}UV(P1)U... UV(Pi–1).
• Так как ,  соответствуют M-чередующейся
декомпозиции, то последнее ребро Q не
принадлежит M.
• Если y = r, то получаем x-r-путь четной длины,
иначе применяем индукцию по i.
Контрпример
Утверждение обратное Лемме 10.5 не
верно: На рисунке  и  также
определяют чередующиеся пути к
вершине, непокрытой паросочетанием.
Однако,  и  не соответствует
никакой M-чередующейся
декомпозиции.
Синие ребра ― ребра в паросочетании,
дуги из u в v указывает на (u) = v.
Паросочетание
и увеличивающий путь
Theorem 8.7 (Berge [1957] )
Пусть G ― граф, и M ― паросочетание в G.
Тогда M является максимальным тогда и
только тогда, когда не существует
M-увеличивающего пути.
Увеличивающие пути в
произвольных графах
v8
v3
v1
v2
v4
v7
v5
v6
Чередующаяся реберная
прогрессия v1, v2, v3, v4, v5,
v6, v7, v5, v4, v8, которая не
является путем, так как
проходит через нечетный
цикл v5, v6, v7.
Заметим, что в этом примере существует увеличивающий путь
v1, v2, v3, v7, v6, v5, v4, v8 , но не ясно как его найти.
Нечетные циклы
• Что делать, если мы наткнулись на
нечетный цикл?
• Оказывается достаточно стянуть его в
вершину.
• В графе со стянутом циклом существует
совершенное паросочетание тогда и только
тогда, когда оно существует в исходном
графе.
Цветки
Определение 10.6
Пусть G ― граф и M ― паросочетание в G.
• Цветком в G относительно M называется
фактор-критический подграф C  G с
|M ∩ E(C)|=(|V(C)| – 1)/2.
• Вершина C непокрытая M ∩ E(C)
называется базой C.
Стягивание
Пусть задан граф G и X  V(G).
Стягиванием X называется следующая
процедура: удалим все ребра внутри
множества X, заменим все вершины X на
новую вершину x и все ребра вида {v, w} с
v  X и w  X на ребра {x, w} (возможно
возникновение параллельных).
Цветки и стягивание
v8
v3
v1
v2
v4
v7
v5
v8
v6
v3
v1
v2
vnew
v7
Лемма о стягивании цветков
Лемма 10.7
Пусть G ― граф и M ― паросочетание в G, и C
― цветок в G (относительно M). Предположим,
что существует M-чередующийся v-r-путь Q
четной длины из вершины v, непокрытой M, в
базу r цветка C, и E(Q)∩ E(C) = .
Пусть G′ и M′ получаются из G и M стягиванием
V(C) к одной вершине. Тогда M максимально в G
тогда и только тогда, когда M′ является
максимальным паросочетанием в G′.
Доказательство
• Предположим, что M не является максимальным
паросочетанием в G.
• Рассмотрим N=M∆Q.
• | N | = | M |  N не является максимальным
паросочетанием в G.
• Теорема Берга   N-увеличивающий путь P[x1,x2] в G.
• Так как M покрывает r, то N не покрывает r.
N
M
Q
Q
v
r
v
r
Доказательство
• Либо x1  С, либо x2  С, пусть x = x1.
• Если P и С не пересекаются, пусть y = x2.
• Иначе, пусть y будет ближайшая к x вершина в P, которая
принадлежит С.
• Пусть P' получается из P[x,y] стягиванием цветка V(С) в G.
• N' не покрывает крайние точки P'.
•  P' является N'-увеличивающим путем в G′.
• Теорема Берга  N' не максимальное паросочетание в G′.
• | N' | = | M' |  M' не максимальное паросочетание в G′.
Доказательство
• Предположим, что M' не является максимальным
паросочетанием в G'.
• Пусть N' паросочетание в G', такое что | N' | > | M' |.
• N' соответствует некоторому паросочетанию N0 в G,
которое покрывает не более одной вершины в C.
• Так как C фактор-критический, к N0 можно добавить
k = (|V(C)| – 1)/2 ребер до паросочетания N в G.
• | N | = | N0 | + k = | N' | + k > | M' | + k = | M |
•  M не максимальное паросочетание в G.
Неправильное стягивание
v8
v3
v1
v2
v4
v7
v5
v6
v8
vnew
v1
v5
Чередующийся лес
Определение 10.8
Даны граф G и паросочетание M в G. Чередующимся
лесом относительно M в G называется лес F в G со
следующими свойствами:
a) V(F) содержит все вершины непокрытые M. Каждая
связная компонента F содержит только одну вершину
непокрытую M, ее корень.
b) Вершина v  V(F) на четном расстоянии от корня
называется внешней, вершина v  V(F) на нечетном
расстоянии от корня называется внутренней (корень
является внешней вершиной.) Все внутренние вершины
имеют степень 2 в F.
c) Для любой v  V(F) , путь из v к ее корню является
M-чередующимся.
Чередующийся лес (2)
Паросочетание и внутренние вершины.
Внешние вершины.
Внешние и Внутренние Вершины
Утверждение 10.9
В любом чередующемся лесе число
внешних вершин отличных от корня
равно числу внутренних вершин.