Теорема Остроградского- Гаусса Силовые линии. Поток вектора напряженности.

Теорема ОстроградскогоГаусса
Силовые линии.
Поток вектора напряженности.
Теорема Остроградского-Гаусса.
Силовые линии

Силовые линии – это линии,
касательная к которым в любой точке
поля совпадает с направлением
вектора напряженности
Силовые линии

Однородным называется
электростатическое поле, во всех точках
которого напряженность одинакова по
величине и направлению. Однородное
электростатическое поле изображается
параллельными силовыми линиями на
равном расстоянии друг от друга
Силовые линии
В случае точечного заряда, линии
напряженности исходят из
положительного заряда и уходят в
бесконечность; и из бесконечности входят
в отрицательный заряд.
Силовые линии

Силовые линии диполя направлены от
положительного заряда к отрицательному
Силовые линии

Густота силовых линий должна быть
такой, чтобы единичную площадку,
нормальную к вектору напряженности
пересекало такое их число, которое равно
либо пропорционально модулю вектора
напряженности в данном месте.
Поток вектора напряженности
Полное число силовых линий, проходящих
через поверхность S называется
потоком вектора напряженности Ф
через эту поверхность
 Так как густота линий равна модулю
вектора напряженности поля, то поток
через элементарную площадку dS
может быть определен как

d   EdS cos   En dS  EdS ,
где
dS  dS  n
Поток вектора напряженности

Только в пределах элементарной
площадки dS в общем случае вектор E
можно считать постоянным. Для
произвольной поверхности поток через нее
определяется
   EdS

S
Для однородного поля
  ES
Поток вектора напряженности
Поток вектора напряженности

Поток величина алгебраическая (скаляр),
зависящая от выбора направления
нормали (угла  между направлением
нормали и вектором напряженности поля ).
Может быть положителен, отрицателен,
равен нулю. В случае замкнутой
поверхности выбирают внешнюю нормаль.
Теорема Остроградского -Гаусса

Поток вектора напряженности
сквозь замкнутую поверхность S
равен алгебраической сумме зарядов
внутри этой поверхности, деленной
на 0 ,
1
 EdS  0 qâí óòð
S
Теорема Остроградского -Гаусса

Подсчитаем поток вектора напряженности
поля точечного заряда через произвольную
поверхность S , охватывающую заряд q .
Так как поток определяется числом линий,
пересекающих поверхность, то очевидно,
что число линий, пересекающих
поверхность S и число линий,
пересекающих сферу произвольного
радиуса с центром в точке, где находится
заряд q
, одно и тоже.
Теорема Остроградского -Гаусса
Теорема Остроградского -Гаусса
В каждой точке поверхности S1 проекция вектора
E на направление внешней нормали одинакова и
равна

1 q
En 
.
40 R12

Тогда поток через эту поверхность равен
q
2
Ô  EndS 
4R1  .
2
0
4

R
0
1
S1

q
Теорема Остроградского -Гаусса

Аналогичные расчеты можно провести и
для сферы S 2
q
2
Ô  EndS 
4R2  .
2
0
4

R
0
2
S1


q
В силу непрерывности силовых линий тот
же результат будет справедлив для любой
поверхности, охватывающей заряд q.
Теорема Остроградского -Гаусса
Для поверхности S3 , не
охватывающей заряд, поток через нее
будет равен нулю.
 Если электрическое поле создано
системой точечных зарядов, то

1
Ô   ÅndS   q i âí óòð
0 i
S
Теорема Остроградского -Гаусса

Если заряды распределеныdqнепрерывно с
объемной плотностью  
, тогда
dV
1
Ô   EdS   dV
0
S
V
Дифференциальная форма
теоремы Остроградского-Гаусса

Пусть заряд распределен по объему V
с объемной плотностью  . Тогда
1
 ÅdS  0
S

 dV
V
1
 ÅdS  0  V
S
1
V
1
 ÅdS  0 
S
Дифференциальная форма
теоремы Остроградского-Гаусса
Устремим объем V к нулю, стягивая его к
интересующей нас точке. При этом 
будет стремиться к ρ в данной точке, т.е.
1

lim  ÅdS 
0
V 0 V
S
1
lim  ÅdS=divE называют
 Величину
V 0 V
дивергенцией поля.S
.

Дифференциальная форма
теоремы Остроградского-Гаусса

В декартовой системе координат
Ex E y Ez
divE 


 E.
x
y
z



i
 j k
x
y
z

E 
0
Дифференциальная форма
теоремы Остроградского-Гаусса

В тех точках поля, где divE>0 , мы имеем
источники поля (т.е. положительные
заряды), а в тех точках, где она
отрицательна – стоки (отрицательные
заряд)
Примеры расчета полей

1. Поле бесконечной равномерно заряженной с
поверхностной плотностью

плоскости.
Примеры расчета полей

Выберем гауссову поверхность в виде цилиндра.
При таком выборе вектор напряженности поля
перпендикулярен к основаниям цилиндра и
одинаков по модулю в каждой точке оснований.
Потока через боковую поверхность цилиндра нет.
Следовательно
1
 EdS  0
S
S
E  2S 
0

Sî ñí
dS

E
2 0
Примеры расчета полей

2. Поле двух бесконечных равномерно заряженных
плоскостей.
E

 0
Примеры расчета полей

3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити). Поле
создается бесконечной цилиндрической поверхностью
радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью

dq
 
dl
Гауссову поверхность
выберем в виде коаксиальной
замкнутой поверхности
(цилиндр в цилиндре)
радиуса r и длиной l
(основания цилиндров
перпендикулярны оси).
Примеры расчета полей

Поток отличен от нуля только для боковой поверхности,
следовательно
Ô  E (r ) S  E (r )2rl.


r  R, гауссова поверхность охватывает заряд q  l.

l
Å (r ) 
ï ðè r  R
E (r )2rl  ,
20r
0
При
E (r )  0,
r  R,
При
поверхность не охватывает заряд.
так как гауссова
Примеры расчета полей

4. Поле равномерно заряженного с объемной
плотностью

шара.
Гауссову поверхность выберем в виде
концентрической сферы.
r  R.
Рассмотрим случай
r
Поверхность охватывает весь заряд,
распределенный по шару, следовательно

q
Ô  E (r ) S  Å (r )4r  .
0
2
E (r ) 
q
40r 2
R
.
Примеры расчета полей
Вне сферы поле тождественно полю точечного
заряда той же величины, помещенному в центр
сферы.
Рассмотрим случай
r  R . Гауссову
Поверхность выберем снова в виде
концентрической сферы
меньшего радиуса. Теперь гауссова
поверхность охватывает лишь часть
заряда шара. Охваченный поверхностью
заряд равен
4 3
4 3 где   q
V  r .
,а
q   r ,
r
3
V
3
R
Примеры расчета полей

Применим теорему Остроградского-Гаусса
1 4 3
Ô  E (r ) S  Å (r )  4r   r .
0 3
2

Найдем напряженность поля внутри шара
r
E (r ) 
30
Примеры расчета полей

Таким образом для объемно заряженного шара
имеем:
 qr
r

 âí óòðè ø àðà( r  R)

3 3
 40 R
0

 q
E
 í à ï î âåðõí î ñòè ø àðà( r  R)
2
 40 R
 q

 âí å ø àðà ( r  R)
2
 40r