Тема 10 семестр 1

Кафедра математики и моделирования
Старший преподаватель Г.В. Аверкова
Курс «Высшая математика»
Тема 10 «Прямая в пространстве»
Переход от общих уравнений прямой к каноническому виду,
векторное и параметрические уравнения прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Угол между двумя прямыми, условие параллельности и
перпендикулярности. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве: нахождение точки пересечения
прямой и плоскости, условия параллельности и
перпендикулярности.
Цели и задачи
 Цели:
– Рассмотреть основные понятия по теме «Прямая в
пространстве»
 Задачи:
– Рассмотреть различные способы задания прямой в
пространстве
– Рассмотреть взаимное расположение двух прямых в
пространстве
– Исследовать взаимное расположение прямой и
плоскости
2
Теоретический материал
1) Общее уравнение прямой
Прямая линия в пространстве определяется как линия
пересечения двух плоскостей
 A x  B y  C z  D  0,

 A x  B y  C z  D  0,
1
1
2
2
n  A , B , C , n  A , B , C  
1
1
1
1
2
2
2
2
нормальные векторы плоскостей
3
1
2
1
2
s  m, n
Теоретический материал
2) Канонические уравнения прямой,
проходящей через заданную точку
параллельно заданному вектору
xx
yy
zz


m
n
p
0
s  m, n, p
s  n n ,
1
2
0
- направляющий вектор прямой
m
B C
1
1
B C
2
4
0
2
,
n
A C
1
1
A C
2
2
,
p
A B
1
1
A B
2
2
Теоретический материал
3) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
M (x , y , z )
M ( x , y , z ),
1
1
1
2
1
2
2
2
xx
yy
zz


x x
y y
z z
1
2
1
1
2
1
1
2
1
4) Параметрические уравнения прямой
 x  x  mt,

 y  y  nt,
 z  z  pt.

0
0
0
5
Теоретический материал
Параметрические уравнения прямой в векторной форме
r  r   st  0
r
r
6
- радиус-вектор точки M ( x, y, z )
- радиус-вектор точки M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
Теоретический материал
Взаимное расположение прямой и плоскости
xx
y y
zz


,
m
n
p
0
0
Ax  By  Cz  D  0
0
Углом между прямой и плоскостью называется угол между
прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость


sin(, l )  cos(n , s ) 
7
ns
n s

Am  Bn  Cp
A2  B 2  C 2  m 2  n 2  p 2
Теоретический материал
8
Теоретический материал
В пространстве возможны три случая взаимного
расположения прямой и плоскости
• Прямая и плоскость пересекаются
Am  Bn  Cp  0
Координаты точки пересечения находятся по формулам
x   x0  mt,
z   z 0  pt
y   y0  nt,
.
подстановкой значения
параметра
t 

9
Ax  By  Cz  D
Am  Bn  Cp
0
0
0
Теоретический материал
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
l   s  n 
A B C
 
m n p
• Прямая и плоскость параллельны
 Am  Bn  Cp  0,
l 
 Ax  By  Cz  D  0
0
0
0
• Прямая принадлежит плоскости
 Am  Bn  Cp  0,
l   
 Ax  By  Cz  D  0
0
10
0
0
Теоретический материал
Взаимное расположение двух прямых
xx
y y zz


,
m
n
p
1
1
1
1
1
1
xx
yy
zz


m
n
p
2
2
2
2
2
2
Углом между двумя прямыми в пространстве называется
любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными
через произвольную точку пространства параллельно данным


cos(l , l )  cos(s , s ) 
1
2
1
2
s s
mm nn  p p

s s
m n  p  m n  p
1
1
11
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
Теоретический материал
В пространстве возможны четыре случая взаимного
расположения двух прямых
• Прямые параллельны
l1 l 2  s1 s 2 ,
M (x , y , z )  l ,
1
1
1
1
2
.
• Прямые совпадают
s1 s 2 M 1 M 2
12
M (x , y , z )  l
2
2
2
2
1
Теоретический материал
• Прямые пересекаются
• Прямые являются скрещивающимися
Две непараллельные прямые пересекаются
при выполнении условия
M 1 M 2  ( s1  s 2 )  0
или
x x y y z z
2
1
m
1
m
2
2
1
n
1
n
2
2
p
1
p
1
0
2
В противном случае прямые являются скрещивающимися
13
Теоретический материал
Условие перпендикулярности двух прямых
l l  s s m m n n  p p 0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Расстояние от точки до прямой
d  d (M , l ) 

14
sM M
0
s

Ключевые понятия
 Прямая
 Нормальный вектор
 Направляющий вектор
 Расстояние от точки до прямой
 Угол между двумя прямыми
 Параллельность и перпендикулярность
15
Контрольные вопросы
 Общее уравнение прямой
 Уравнение прямой по двум точкам
 Канонические уравнения прямой
 Параметрические уравнения прямой
 Угол между прямой и плоскостью
 Взаимное расположение прямой и плоскости в
пространстве
 Угол между двумя прямыми
 Взаимное расположение двух прямых в
пространстве
 Расстояние от точки до прямой
16
Дополнительная литература
17