Доказательства теоремы

Теорема Пифагора
Различные доказательства
теоремы
Первое
доказательство теоремы Пифагора










Цель доказательства — убедиться в том, что теорема Пифагора
верна для всех прямоугольных треугольников. Треугольник,
изображенный на рисунке справа, может быть любым
прямоугольным треугольником, так как длины его сторон не
указаны, а обозначены буквами x, y и z. Справа из четырех
одинаковых прямоугольных треугольников и наклоненного
квадрата составлен квадрат больших размеров. Площадь
большего квадрата — ключ к доказательству. Площадь большого
квадрата можно вычислить двумя способами.
1-й способ. Измеряем площадь большого квадрата как единой
фигуры. Длина каждой стороны равна x+y. Следовательно,
площадь большого квадрата равна (x+y)2.
2-й способ. Измеряем площадь каждого элемента большого
квадрата. Площадь каждого треугольника равна xy/2. Площадь
наклонного квадрата равна z2. Следовательно, площадь большого
квадрата равна 4 × (площадь каждого треугольника) + (площадь
наклонного квадрата) = 4·xy/2 + z2. 1-й и 2-й способы приводят к
двум различным выражениям. Оба выражения должны быть
равны, так как они представляют различные записи одной и той
же площади. Следовательно,
(x + y)2 = 4·xy/2 + z2.
Раскроем скобки и упростим полученные выражения:
x2 + 2xy + y2 = 2xy + z2.
Члены 2xy, стоящие в левой и правой частях равенства, взаимно
уничтожаются, и мы получаем
x2 + y2 = z2.
Это и есть теорема Пифагора!
Приведенное доказательство остается в силе для любых
прямоугольных треугольников. Длины сторон треугольника в
нашем доказательстве обозначены буквами x, y и z, которые могут
быть длинами сторон любого прямоугольного треугольника.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть АВС — данный прямоугольный
треугольник с прямым углом С. Проведем
высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 7).
По определению косинуса угла (Косинусом
острого угла прямоугольного треугольника
называется отношение прилежащего катета к
гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда
AB*AD=AC2 Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB.
Отсюда AB*BD=ВС2 Складывая полученные
равенства почленно и замечая, что
AD+DB=AB, получим:
АС+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доказана.
В заключении еще раз хочется сказать о
важности теоремы. Значение ее состоит
прежде всего в том, что из нее или с ее
помощью можно вывести большинство теорем
геометрии. К сожалению, невозможно здесь
привести все или даже самые красивые
доказательства теоремы, однако хочется
надеется, что приведенные примеры
убедительно свидетельствуют об огромном
интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по
отношению к ней.
Доказательство основанное на теории
подобия

В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины
прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два
треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные
треугольники будут подобны друг другу и исходному
треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком
подобия(по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме
прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a,
треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые
треугольники также подобны друг другу, следует из того, что
каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это
можно установить и непосредственно. Доказательство
индийского математика Басхары изображено на рисунке. В
пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!".
Ученые считают, что он выражал площадь квадрата
,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников
(4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:
c²=4ab/2+(a-b)²
c=2ab+a²-2ab+b²
c²=a²+b²
Теорема доказана.
Векторное док-во

Пусть АВС - прямоугольный
треугольник с прямым углом при
вершине С, построенный на
векторах. Тогда справедливо
векторное равенство:b+c=a
откуда имеем
c=a-b
возводя обе части в квадрат,
получим
c²=a²+b²-2ab
Так как a перпендикулярно b, то
ab=0, откуда
c²=a²+b² или c²=a²+b²
Нами снова доказана теорема
Пифагора.
Если треугольник АВС произвольный, то та же формула
дает т. н. теорему косинусов,
обобщающую теорему Пифагора.