Лекция 2: Финансово-математические основы инвестирования

Лекция 2:
Финансово-математические
основы инвестирования
Вопросы для рассмотрения:
1.
Временной фактор в инвестиционном
процессе
2.
Операция наращения и определение
будущей стоимости инвестиций
3.
4.
5.
Операция дисконтирования и
определение текущей стоимости
инвестиций
Денежные потоки и аннуитет
Фактор будущей и текущей стоимости
в практических расчетах
Вопрос 1:
Временной фактор в
инвестиционном процессе
Необходимость
учета
временного
фактора
вытекает из сущности финансирования и
кредитования и выражается в принципе
неравноценности денег, относящихся к
разным моментам времени (time-value of
money). Очевидно, что 1000 грн., полученные
через пять лет, не равноценны этой же сумме,
поступившей сегодня, даже если не принимать во
внимание инфляцию и риск их неполучения.
Здесь, вероятно, вполне уместен известный
афоризм: "Время — деньги".
Отмеченная неравноценность двух одинаковых по
абсолютной величине сумм связана прежде
всего с тем, что имеющиеся сегодня деньги
теоретически могут быть инвестированы и
принести доход в будущем. Полученный доход,
в свою очередь, может быть реинвестирован и т.д.
Если сегодняшние деньги, в силу сказанного,
ценнее будущих (в том смысле, о котором шла
речь), то соответственно будущие поступления
менее ценны, чем современные.
Пример. Американская компания "Юнион карбайд", на
химическом заводе которой в Индии произошла крупная
авария,
первоначально
предложила
в
качестве
компенсации выплатить пострадавшим 200 млн. долл.
в течение 35 лет (предложение было отклонено).
Воспользуемся этими данными для демонстрации
влияния фактора времени и определим сумму денег,
которую необходимо положить в банк, скажем, под 10%
годовых для того, чтобы полностью обеспечить
последовательную
выплату
200
млн.
долл.
Оказывается, для этого достаточно выделить 57,6 млн.
долл.
Иначе
говоря,
57,6
млн.
долл.,
выплаченных сегодня, равнозначны 200 млн.
долл., погашаемым ежемесячно в равных долях
на протяжении 35 лет.
Под процентными деньгами, или, кратко,
процентами (interest), понимают абсолютную
величину дохода от предоставления денег в долг в
любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в
кредит, помещение денег на депозитный счет, учет
векселя, покупка сберегательного сертификата или
облигации и т.д. Какой бы вид или
происхождение не имели проценты, это
всегда
конкретное
проявление
такой
экономической категории, как ссудный
процент.
Под процентной ставкой (rate of interest) понимается
относительная величина дохода за фиксированный
отрезок времени, т.е. отношение дохода (процентных
денег) к сумме долга за единицу времени. Процентная
ставка измеряется в процентах и в виде десятичной или
натуральной дроби. Временной интервал, к которому
приурочена процентная ставка, называют периодом
начисления (год, полугодие, квартал, месяц или даже
день).Проценты
согласно
договоренности
между
кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их
начисления или присоединяются к основной сумме долга
(капитализация процентов). Процесс увеличения суммы
денег в связи с присоединением процентов называют
наращением.
Проценты различаются по базе для их начисления.
Применяется постоянная или последовательно
изменяющаяся база для расчета. В последнем
случае за базу принимается сумма, полученная на
предыдущем
этапе
наращения,
или
дисконтирования,
иначе
говоря,
проценты
начисляются на проценты. При постоянной базе
используют простые, при переменной —
сложные процентные ставки.
Процентные
ставки
могут
быть
фиксированными (в контракте указывается их
размер) или "плавающими" (floating).
В последнем случае фиксируется не сама ставка, а
изменяющаяся во времени база ("базовая ставка")
и размер надбавки к ней — маржи.
Примером базовой ставки может служить
лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (London
interbank offered rate).
Сущность инвестиционного
процесса с учетом временного
фактора:
Инвестирование – это вложение средств в
некоторой первоначальной сумме (PV) на
период (t) ради возврата их в будущем с
прибылью в сумме (FV) в виде
поступлений по результатам реализации
проекта.
Расчет прироста средств с учетом фактора
времени с помощью ставки
Ставка рассчитывается по одной из двух формул:
FV  PV
rt 
PV
(1)
характеризует темп прироста – ставка процента,
доходность, норма прибыли;
база – исходная сумма инвестиции PV
FV  PV
dt 
FV
(2)
характеризует темп снижения – учетная ставка, дисконт
база – возвращаемая сумма с учетом дохода FV
Ставка и дисконт выражаются в долях или %.
Иллюстрация процессов наращения и
дисконтирования
Настоящее
1.Исходная
сумма PV
2.
Будущее
Наращение
Возвращаемая
сумма FV
Процентная
ставка rt
Приведенная
сумма PV
Дисконтирова
ние
1. Ожидаемая к
поступлению сумма
FV
2.Коэффициент
дисконтирования dt
процентная ставка равна rt = к-ту дисконтирования dt
Понятие и экономический смысл
наращения
Процесс, в котором заданы исходная
сумма (PV) и процентная ставка
называется наращением
Экономический смысл наращения –
определение величины той суммы, которую
получит инвестор по завершению
реализации инвестпроекта
Величина (FV) отображает будущую
стоимость сегодняшней величины (PV) при
заданном ставке доходности
Понятие и экономический смысл
дисконтирования
Процесс, в котором заданы ожидаемая к
получению в будущем сумма (FV) и коэффициент
дисконтирования, называется дисконтированием
Экономический смысл дисконтирования –
определение ценности будущих поступлений от
реализации инвестиционного проекта с позиции
текущего момента
Коэффициент дисконтирования (по смыслу также
процентная ставка) показывает, какой ежегодный
процент возврата может иметь инвестор на
вложенный капитал
В этом случае искомая величина (PV) отображает
текущую "сегодняшнюю" стоимость будущей
величины (FV).
Вопрос 2:
Операция наращения и
определение будущей
стоимости инвестиций (FV)
Расчет будущей стоимости (FVn)
Проценты
простые
сложные
доход только с первоначальной
суммы инвестиций в течение
всего срока реализации проекта
доход периодически
добавляется к сумме начальной
инвестиции
FVn = PV * ( 1 + n * r )
FVn = PV * ( 1 + r ) n
где FVn – возвращаемая сумма капитала;
PV – первоначальная инвестиция (исходная сумма);
n – срок реализации инвестиционного проекта (годы);
r – годовая процентная ставка (темп прироста денежных средств).
Особенности расчета будущей стоимости
Сложные проценты
начисление 1
раз в год
начисление чаще
1 раза в год
FVn = PV * ( 1 + r ) n
FVn = PV * ( 1 + r/m ) n*m
где m – количество начислений % за год (раз)
ВНИМАНИЕ: при расчете будущей стоимости с
применением простых % количество начислений в
течение года не влияет на конечную сумму,
поскольку база начисления остается неизменной
Расчет будущей стоимости с помощью
финансовых таблиц
Сложные проценты
начисление 1 раз в
год
FVn = PV * ( 1 + r ) n
FVn = PV * PVIFr,n
начисление чаще 1
раза в год
FVn = PV * ( 1 + r/m ) n*m
FVn = PV * PVIFr/m,n*m
где PVIF r,n и PVIF r/m,n*m – факторы будущей
стоимости денежных вложений (коэффициент,
представленный в таблицах)
ПРИМЕЧАНИЕ: при выборе показателя PVIF r/m, n*m вначале
рассчитываем значения индексов r/m, n*m, а потом ищем значение в
таблице
Расчет эффективной годовой
% -ной ставки (EAR)
Показатель
измеряет
фактическую
эффективность
вложений
капитала,
рассчитанную с
учетом
количества
начислений за
год.
EAR =
= ( 1 + r/m ) m - 1
= PVIFr/m, m - 1
Используется для анализа
проектов с различными
схемами начисления %.
Чем больше m, тем больше
EAR.
Вопрос 3 :
Операция дисконтирования
и определение текущей
стоимости инвестиций (PV)
Особенности расчета текущей
стоимости (PVn)
Сложные проценты
начисление 1 раз в
год
PVn = FV / ( 1 + r ) n
1 / ( 1 + r ) n = PVIFr,n
PVn = FV * PVIFr,n
начисление чаще 1
раза в год
PVn = FV / ( 1 + r/m ) n*m
1/(1 + r/m) n*m = PVIFr/m,n*m
PVn = FV * PVIFr/m,n*m
Вопрос 4 :
Денежные потоки и аннуитет
Виды денежных потоков
в инвестиционной деятельности
Равные денежные потоки – это
периодическое поступление денежных
средств равными суммами через
одинаковые промежутки времени.
Денежные потоки считаются
неравными, если денежные средства
поступают в неравных суммах.
Аннуитет: понятие и сущность
Аннуитет представляет собой равные по
величине денежные потоки в течение точно
определенного срока
При аннуитете:
во-первых, поступления денежных
средств происходят равными суммами
через равные промежутки времени;
во-вторых, есть четко оговоренный
период действия аннуитета.
С помощью аннуитета можно оценивать
будущую и приведенную стоимости инвестиций
в любой промежуток времени в том случае,
если инвестиционный проект генерирует
равный денежный поток.
Будущая стоимость аннуитета (FVA)
FVA n  P * t 1 FVIFr, t  P * FVIFA r, n
n
где P – сумма равных по величине периодических поступлений
(чистая, без %);
PVIFAr,n – фактор будущей стоимости аннуитета (коэфф.из табл);
n – количество периодов;
t - текущий период.
n
n
t
r, n
t 1
FVIFA

(1  r )  1
(1  r ) 
r
Коэффициент PVIFAr,n - отражает будущую стоимость одной
денежной единицы в конце срока реализации инвестиционного
проекта.
Текущая стоимость аннуитета (РVA)
PVA n  P * t 1 PVIFr,t  P * PVIFA r,n
n
где P – сумма равных по величине периодических поступлений (с %);
РVIFAr,n – фактор будущей стоимости аннуитета (коэфф.из табл);
n – количество периодов;
t - текущий период.
n
n
РVIFA r, n
1
1
1
(1  r )


t
r
t 1 (1  r )
Коэффициент РVIFAr,n - характеризует текущую стоимость 1-й
денежной единицы потока, регулярно поступающего в течение
установленного срока с определенной нормой рентабельности r.
Текущая и будущая стоимость инвестиций
при неравном денежном потоке
Текущая стоимость (PV)
n
n
Pt
P1
P2
Pn
PV 

 ...

  (Pt * PVIFr,n )
2
n
t
1  r (1  r)
(1  r)
t 1 (1  r)
t 1
Будущая стоимость (FV)
n
n
FV   Pt * (1  r )   (Pt * FVIFr,n )
t
t 1
t 1
где Pt - денежный поток в конкретном периоде t;
r - ставка дисконтирования
Вопрос 5:
Фактор будущей и текущей
стоимости в практических
расчетах
Определение будущей и текущей стоимости
инвестиций
При денежном потоке, состоящем из 2-х элементов:
1) Начальные инвестиции
2) Конечный доход по результатам реализации
проекта
FV  PV * (1  r )  PV * FVIFr,n
FV
PV 
 FV * PVIFr,n
n
(1  r)
n
Пример: вложение средств на депозит без снятия % и
пополнения вклада; долевое финансирование проекта
без изъятия % от прибыли и т.п.
Определение будущей и текущей стоимости при
равном денежном потоке (аннуитет):
Пример 1: расчет будущей суммы средств на депозите
при условии применения сложных % и
возможности пополнения равными суммами
FVA n  P * FVIFA r,n
Примечание: Р – платеж чистый без %, будущая сумма
депозита FVA = первоначальная сумма + %
Пример 2: расчет платежей по кредиту при условии
применения сложных % и погашения долга
равными суммами (% + тело кредита)
PVA n  P * PVIFA r,n
Примечание: Р – платеж = гашение тела + %, текущая
сумма кредита PVA – без %
Спасибо за
внимание!